परिचय

1. हाई स्कूल पाठ्यक्रम में पूर्ण मूल्य

1.1 परिभाषाएँ और मुख्य प्रमेय

1.2 अवधारणा की ज्यामितीय व्याख्या |ए |

2. समीकरणों और असमानताओं को हल करने के तरीके

2.1 निरपेक्ष मान (मापांक) की परिभाषा का उपयोग करके समीकरणों और असमानताओं को हल करना

2.2 संख्या a और b, उनके मॉड्यूल और इन संख्याओं के वर्गों के बीच निर्भरता का उपयोग करके हल करने की एक विधि

2.3 रिक्ति विधि

2.4 ग्राफिकल विधि

2.5 अनुक्रमिक मॉड्यूल विस्तार विधि

2.6 समीकरणों और असमानताओं के प्रकार और उनके समाधान

3. समीकरणों और असमानताओं को हल करने के अतिरिक्त तरीके

3.1 सर्वसमिकाओं का उपयोग करके मापांक वाले समीकरणों और असमानताओं को हल करना

3.2 गैर-ऋणात्मक व्यंजकों के मापांक वाले समीकरणों को हल करना

3.3 ज्यामितीय व्याख्या का उपयोग करके समीकरणों को हल करना

3.4 उपफल पर जाकर समीकरणों को हल करना

3.5 मॉड्यूल साइन के तहत एक चर वाले विशिष्ट कार्य

3.6 स्कूली गणित पाठ्यक्रम में एक मॉड्यूल के साथ समीकरणों और असमानताओं के अध्ययन के क्रम पर शिक्षक की सलाह

4. एकीकृत राष्ट्रीय परीक्षण (यूएनटी) में मापांक के साथ समीकरण और असमानताएं

निष्कर्ष

प्रयुक्त साहित्य की सूची

परिचय

विषय की प्रासंगिकताइस तथ्य के कारण कि गणित, भौतिकी और तकनीकी विज्ञान में स्कूल पाठ्यक्रम के विभिन्न वर्गों में मॉड्यूल का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, अनुमानित गणना के सिद्धांत में, अनुमानित संख्या की निरपेक्ष और सापेक्ष त्रुटियों की अवधारणाओं का उपयोग किया जाता है, एक वेक्टर की अवधारणा और इसकी लंबाई (एक वेक्टर का मापांक) का उपयोग ज्यामिति और यांत्रिकी में किया जाता है, गणितीय विश्लेषण में, मापांक की अवधारणा एक बंधे हुए कार्य की सीमाओं की परिभाषा में निहित है। मेरा मानना ​​​​है कि इस विषय के लिए गहन शोध की आवश्यकता है, क्योंकि यह बढ़ी हुई जटिलता के विभिन्न कार्यों में पता लगाया जा सकता है जो छात्रों को उपदेशात्मक सामग्री के लेखकों द्वारा, गणितीय ओलंपियाड की समस्याओं, यूएनटी कार्यों और विश्वविद्यालयों में प्रवेश के लिए परीक्षाओं में पेश किए जाते हैं।

माध्यमिक विद्यालय में गणित पढ़ाने के अभ्यास में, एक संख्या (मॉड्यूल) के निरपेक्ष मूल्य की अवधारणा का बार-बार सामना होता है।

छठी कक्षा में, अनुमानित गणना के विषय में, एक अनुमानित संख्या की पूर्ण त्रुटि को स्पष्ट करते हुए, एक संख्या के निरपेक्ष मूल्य की अवधारणा बनाई जाती है।

छठी कक्षा के उत्तरार्ध में, एक संख्या (मापांक) के निरपेक्ष मान की परिभाषा पेश की जाती है और इस अवधारणा की मदद से परिमेय संख्याओं पर क्रियाओं के नियम तैयार किए जाते हैं।

ग्रेड 8 में, अंकगणितीय वर्गमूल के गुणों पर विचार करते समय, किसी संख्या के निरपेक्ष मान की अवधारणा को अपना नया अनुप्रयोग मिलता है:

; जहां अन्य।

ग्रेड 9 में, अनुक्रम की सीमा का अध्ययन करते समय, छात्रों को फॉर्म के भाव मिलते हैं:

किसी संख्या के निरपेक्ष मूल्य की अवधारणा को 10 वीं कक्षा में एक फ़ंक्शन की सीमा का अध्ययन करते समय, बाध्यता के लिए एक फ़ंक्शन का अध्ययन करते समय और जटिल संख्याओं का अध्ययन करते समय इसके आगे विकास प्राप्त होता है।

ग्रेड 11 में, "तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री" विषय में, जड़ों के गुणों पर विचार किया जाता है एन-थ डिग्री, जहां किसी संख्या के निरपेक्ष परिमाण की अवधारणा का भी उपयोग किया जाता है; उदाहरण के लिए,

=

इस प्रकार, सभी वर्गों के अनुसार पाठ्यक्रम, किसी संख्या के निरपेक्ष मान के चिह्न वाले अभ्यासों को शामिल किया जाना चाहिए और उन पर विचार किया जाना चाहिए।

ग्रेड 6 में, आप फॉर्म के समीकरणों को हल कर सकते हैं:

7 वीं कक्षा में, फॉर्म के समीकरणों के समाधान पर विचार करना संभव है: आदि, फॉर्म के समीकरणों की प्रणाली:

साथ ही कार्यों के रेखांकन की साजिश रचने :; ; और आदि।

ग्रेड 8 में, निरपेक्ष मूल्य की अवधारणाओं को द्विघात समीकरणों तक विस्तारित किया जाता है, एक द्विघात त्रिपद का ग्राफ, आदि, आप फॉर्म के समीकरणों को हल कर सकते हैं: ; ;

नवीनता थीसिस : हमने एक मॉड्यूल के साथ सभी समीकरणों और असमानताओं को हल किया जो यूएनटी परीक्षण कार्यों में पाए जाते हैं और उन्हें हल करते समय छात्रों द्वारा की गई मुख्य गलतियों पर विचार किया जाता है।

लक्ष्यहमारे शोध का संचालन - शिक्षण सामग्री का विश्लेषण करने के लिए, मॉड्यूल के साथ समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए सभी तरीकों की पहचान करें और उन्हें इस काम में संयोजित करें।

सेट को प्राप्त करने के लिए, निम्नलिखित को हल करना आवश्यक है कार्य:

मुख्य प्रमेयों और परिभाषाओं का अध्ययन करें;

मापांक के साथ समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए बुनियादी तरीकों का वर्णन करें;

मापांक के साथ समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए गैर-मानक तरीकों का खुलासा करें।

अध्ययन की वस्तु:स्कूल में समीकरणों और असमानताओं को पढ़ाने की प्रक्रिया।

अध्ययन का विषय:स्कूल गणित पाठ्यक्रम में मापांक चिह्न वाले समीकरणों और असमानताओं को हल करने के तरीके।

व्यवहारिक महत्वथीसिस इस तथ्य में शामिल है कि यह थीसिस समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए सभी विधियों और तकनीकों को प्रस्तुत करती है जिनका उपयोग स्कूल गणित पाठ्यक्रम में किया जा सकता है।

मुख्य अनुसंधान विधियांमेरी थीसिस में हैं:

विश्लेषणात्मक,

तुलनात्मक,

मोनोग्राफिक प्रकाशनों और लेखों का अध्ययन,

विशेष रूप से ऐतिहासिक,

सामान्यीकरण विधि।

यह डिप्लोमा निम्नलिखित कार्यों पर आधारित है: "निरपेक्ष मूल्य" गेदुकोव II, "समीकरण और उनके समाधान के लिए मॉड्यूल और विधियों के साथ असमानताएं" सेवरीयुकोव पीएफ, स्मोल्याकोव एएन, "बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत। समीकरण और असमानताएँ 10 - 11kl "ओलेखनिक, पोटापोव, पासिचेंको।

पहला अध्याय समस्या के सैद्धांतिक पक्ष, इस विषय पर आगे के शोध के लिए आवश्यक मुख्य प्रमेयों और अवधारणाओं की जांच करता है। समीकरण समस्या असमानता

थीसिस के दूसरे अध्याय में, हमने मॉड्यूल के साथ समीकरणों और असमानताओं को हल करने के तरीकों को जोड़ा, जो स्कूल के पाठ्यक्रम में शामिल हैं।

तीसरे अध्याय में, हमने एक मॉड्यूल वाले समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए गैर-मानक तकनीकों को प्रस्तुत किया, अतिरिक्त पाठों में अध्ययन किया और ओलंपियाड समस्याओं को हल करने में उपयोग किया। इसके अलावा यहां समीकरणों और असमानताओं को हल करने और एकीकृत राष्ट्रीय परीक्षण (यूएनटी) के लिए परीक्षण विकल्प निर्धारित करने के लिए विशिष्ट कार्य माना जाता है।

निरपेक्ष मान के चिह्न वाले समीकरणों को हल करते समय, हम संख्या के मापांक की परिभाषा और संख्या के निरपेक्ष मान के गुणों पर आधारित होंगे।

1. पाठ्यक्रम में पूर्ण मूल्य उच्च विद्यालय

1.1 परिभाषाएँ और मुख्य प्रमेय

किसी संख्या के निरपेक्ष परिमाण की अवधारणा पर विचार करें, या, समान रूप से, वास्तविक संख्याओं के लिए किसी संख्या का मापांक।

परिभाषा 1.1.1 एक वास्तविक संख्या a का निरपेक्ष मान (मापांक) दो संख्याओं a . से ली गई एक गैर-ऋणात्मक संख्या है या - ए।

संख्या का निरपेक्ष मान a निरूपित | ए| और "संख्या a का निरपेक्ष मान" पढ़ें, या "संख्या a का मापांक"।

परिभाषा से यह निम्नानुसार है:

यह परिभाषा से इस प्रकार है कि किसी भी वास्तविक संख्या के लिए, 0।

उदाहरण 1.1.1:

;

प्रमेय 1.1.1 विपरीत संख्याओं के बराबर निरपेक्ष मान होते हैं, अर्थात्। =.

वास्तव में, निरपेक्ष मूल्य की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है:

=

=

इसलिये,

1.2 अवधारणा की ज्यामितीय व्याख्या

यह ज्ञात है कि प्रत्येक वास्तविक संख्या को संख्या रेखा पर एक बिंदु के साथ जोड़ा जा सकता है, तो यह बिंदु इस वास्तविक संख्या का ज्यामितीय प्रतिनिधित्व होगा। संख्या रेखा का प्रत्येक बिंदु मूल बिंदु से इसकी दूरी से मेल खाता है, और खंड की लंबाई, जिसकी शुरुआत मूल में है और अंत इस बिंदु पर है। यह दूरी, या खंड की लंबाई, हमेशा मानी जाती है एक गैर-ऋणात्मक मान के रूप में।

इसके साथ ही, संख्या रेखा के प्रत्येक बिंदु को एक दिशात्मक खंड (वेक्टर) सौंपा जा सकता है, जो इसकी लंबाई और दिशा की विशेषता है।

वास्तविक संख्याओं का समुच्चय एक उन्मुख सीधी रेखा के बिंदुओं के समुच्चय से मेल खाता है, अर्थात। ऐसी सीधी रेखा जिस पर मूल और पैमाने के अलावा एक सकारात्मक दिशा स्थापित हो।

तब हम यह मान सकते हैं कि वास्तविक संख्या की ज्यामितीय व्याख्या एक सदिश है जो मूल से निकलती है और एक बिंदु पर समाप्त होती है, जो प्रतिनिधित्व करती है दी गई संख्या... इस वेक्टर की लंबाई दी गई वास्तविक संख्या के निरपेक्ष मान की ज्यामितीय व्याख्या होगी।

अर्थ की ज्यामितीय व्याख्या स्पष्ट रूप से पुष्टि करती है कि =।

उदाहरण 1.2.1:

अगर = 5, तो ए 1 = 5 और ए 2 = -5, या ए =± 5.

नतीजतन, यह समानता दो संख्याओं से संतुष्ट होती है, जो संख्या रेखा पर दो बिंदुओं के अनुरूप होती हैं।

अगर 10, तो

कहां ए 10 और ए-10, या

नतीजतन, यह असमानता दो अंतरालों की संख्याओं के सेट से संतुष्ट होती है: (-∞; -10) और (10; ∞), और संख्या रेखा पर इन अंतरालों के अनुरूप दो अंतराल होते हैं।

एक बीजीय समस्या का ज्यामितीय भाषा में अनुवाद करना समस्याओं को हल करने का एक सुविधाजनक और शक्तिशाली तरीका है। एक अन्य उदाहरण के रूप में, आइए ओलंपियाड की समस्याओं के खंड का विश्लेषण करें:

उदाहरण 1.2.2:

एक समारोह दिया: .

समाधान:आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें। ऐसा करने के लिए, ध्यान दें कि, और फिर हम पहले फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बना सकते हैं, और फिर इसे समन्वय अक्ष के चारों ओर प्रतिबिंबित कर सकते हैं। आइए फ़ंक्शन को परिभाषित करने वाले व्यंजक को रूपांतरित करें:

चूंकि यह प्रणाली एक बिंदु पर केन्द्रित त्रिज्या 2 के ऊपरी अर्धवृत्त को परिभाषित करती है, मूल फ़ंक्शन का ग्राफ आकृति में दर्शाए गए अर्धवृत्तों का एक संघ है।

अब मुश्किल नहीं समस्याओं का समाधान :

साथ)पर कोई समाधान नहीं हैं, क्योंकि समीकरण के तीन समाधान हैं, के लिए - चार समाधान, के लिए - दो समाधान।

बी) सेगमेंट से सभी के लिए असमानता पूरी की जाती है।

ए) समीकरण का मूल फलन के ग्राफ के साथ सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज है। आइए हम इसे ज्यामितीय रूप से खोजें: आकृति में छायांकित समकोण त्रिभुज समद्विबाहु है (सीधी रेखा का कोणीय गुणांक -1 है), इसका कर्ण वृत्त की त्रिज्या है, इसकी लंबाई 2 है। फिर पैर की लंबाई भुज अक्ष पर पड़ा है, और वांछित भुज के बराबर है।

ज्यामितिआर मॉड्यूल का तार्किक अर्थआर मात्रा का अंतरउनके बीच की दूरी है। उदाहरण के लिए, व्यंजक का ज्यामितीय अर्थ | x– ए| एब्सिसास ए और एक्स के साथ बिंदुओं को जोड़ने वाले समन्वय अक्ष के खंड की लंबाई है। एक बीजीय समस्या का ज्यामितीय भाषा में अनुवाद करना अक्सर बोझिल समाधानों से बचा जाता है।

उदाहरण 1.2.3:मॉड्यूल की ज्यामितीय व्याख्या का उपयोग करके समीकरण | x – 1 | + | x – 2 | = 1 को हल करें।

हम इस प्रकार तर्क देंगे: मापांक की ज्यामितीय व्याख्या के आधार पर, समीकरण का बायाँ भाग भुज x के कुछ बिंदु से भुज 1 और 2 के साथ दो निश्चित बिंदुओं तक की दूरी का योग है। तब यह स्पष्ट है कि सभी बिंदु एक खंड से एब्सिसस के पास आवश्यक संपत्ति है, और इस खंड के बाहर स्थित बिंदु - नहीं। इसलिए उत्तर: समीकरण के समाधान का समुच्चय एक खंड है।

उत्तर: एक्स

उदाहरण 1.2.4:आइए समीकरण को हल करें - 1 | - | x - 2 | = 1 1 मॉड्यूल की ज्यामितीय व्याख्या का उपयोग करते हुए।

हम पिछले उदाहरण के समान ही तर्क देंगे, जबकि हम प्राप्त करते हैं कि एब्सिसास 1 और 2 के साथ बिंदुओं की दूरी में अंतर संख्या 2 के दाईं ओर समन्वय अक्ष पर स्थित बिंदुओं के लिए केवल एक के बराबर है। इसलिए, इसका समाधान समीकरण बिंदु 1 और 2 के बीच का खंड नहीं होगा, और बिंदु 2 से बाहर जाने वाली किरण और OX अक्ष की सकारात्मक दिशा में निर्देशित होगी।

उत्तर:एक्स ,, ..., समीकरण रूप लेता है-x 2 + 5x-6 = 5x-x 2 -6 और परिवर्तनों के बाद यह निर्भर नहीं करता हैएक्स: -6 = -6। इसलिए, x माना अंतराल में से कोई भी हो सकता है।

समीकरण का अंतिम हलएक्स ।

उदाहरण 3 ... प्रश्न हल करें| एक्स 2 -1 | = - | एक्स | +1

पहला मॉड्यूल दो विशिष्ट बिंदु देता हैएक्स 1 = -1, एक्स 2 = 1 , दूसरा मॉड्यूल बिंदुएक्स = 0 ... मान्य मानों की श्रेणी को चार अंतरालों में विभाजित किया गया है(-∞; -1) [-1; 0] (0; 1] (1;+ ∞) , जिनमें से प्रत्येक में, मॉड्यूल खोलते समय, हमें ध्यान से खड़े भावों के संकेत को देखना चाहिए।

ए)। x (-∞; -1): x 2 -1 = x + 1, x 2 -x-2 = 0 ... इस समीकरण की जड़ेंएक्स 1 = -1, एक्स 2 = 2 चयनित खुले अंतराल के भीतर न आएं। यहाँ आपको करने की ज़रूरत है महत्वपूर्ण लेख... अनुमेय मूल्यों की सीमा को अंतराल में विभाजित करते समय, विशेषता बिंदुओं को आपके विवेक पर अंतराल में शामिल किया जाता है, प्रत्येक विशेषता बिंदु को दोनों अंतरालों में शामिल किया जा सकता है, जिसकी सीमा यह कार्य करती है, या उनमें से केवल एक में। इससे त्रुटि नहीं होगी।

बी)। एक्स [-1; 0]: -x 2 + 1 = x + 1, x 2 + x = 0, x 1 = -1, x 2 = 0. दोनों मूल विचाराधीन अंतराल में शामिल हैं और इसलिए, मूल समीकरण के समाधान हैं।

वी)। x (0; 1]: -x 2 + 1 = -x + 1, x 2 -x = 0, x 1 = 0, x 2 = 1 ... दूसरी जड़ बीच में गिरती है।

जी)। x (1; + ): x 2 -1 = -x + 1, x 2 + x-2 = 0, x 1 = -2, x 2 = 1 ... दोनों जड़ें अंतराल में शामिल नहीं हैं।

इस समीकरण के अंतिम समाधान में तीन मूल हैं:एक्स 1 = -1, एक्स 2 = 0, एक्स 3 = 1।

मॉड्यूल के साथ समीकरणों के सभी दिखाए गए उदाहरणों में, एक ग्राफिकल समाधान संभव था, कभी-कभी यह सभी अंतरालों की लंबी गणना से भी तेज होता है जिसमें अनुमेय मूल्यों की सीमा को विशिष्ट बिंदुओं से विभाजित किया जाता है।

प्रशिक्षण अभ्यास।

1. | एक्स + 5 | = | 10 + एक्स |

1. | 3x + 1 | + x = 9
2. | x-3 | +2 | x + 1 | = 4

निरपेक्ष मान के चिह्न वाले समीकरण और उनके सिस्टम
(विधि विकास)

पैराग्राफ 1. बुनियादी जानकारी।

मद 1. संख्या के निरपेक्ष मूल्य का निर्धारण। सरलतम समीकरणों को हल करना।

इसकी ज्यामितीय व्याख्या के साथ किसी संख्या के निरपेक्ष मान (संख्या का मापांक) की अवधारणा से परिचित होना बेहतर है: ज्यामिति में, मापांक एक बिंदु से दूरी है जो एक संख्यात्मक अक्ष पर दी गई संख्या का प्रतिनिधित्व करता है या विमान को समन्वयित करता है। मूल। तो, संख्या 5 संख्यात्मक अक्ष पर शून्य के दाईं ओर स्थित है, और संख्या -5 शून्य के बाईं ओर स्थित है, लेकिन इन संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने वाले बिंदुओं से मूल की दूरी समान और 5 के बराबर है। मान संख्या a के निरपेक्ष मान को कोष्ठकों द्वारा दर्शाया जाता है:।
आइए हम मॉड्यूल की ज्यामितीय परिभाषा को ग्राफिक रूप से समझाएं:

तदनुसार, एक निश्चित मूल्य के मापांक की बीजगणितीय परिभाषा स्थापित की जाती है:

.
आइए अब हम सबसे सरल (लेकिन सामग्री को समझने के लिए महत्वपूर्ण) समीकरणों पर विचार करें, जिसमें निरपेक्ष मान का चिह्न भी शामिल है। से हमारा तात्पर्य अज्ञात चर वाले कुछ बीजीय व्यंजकों से है।

ए। फॉर्म के समीकरण, जहां ए - दी गई संख्या. (1)
आइए हम अपने सामने की समस्या को स्पष्ट करें: यदि x समीकरण (1) का कोई हल है, तो, मापांक की ज्यामितीय परिभाषा के अनुसार, संख्या रेखा पर बिंदु f मूल बिंदु से a की दूरी पर स्थित होता है। इसलिए, यदि a0, तो हमारे पास दो आवश्यक बिंदु हैं: f1 = -a, f2 = a।

तो, समीकरण (1): a0 के लिए समीकरणों के समाधान हैं और।
संक्षेप में, अंतिम कथन इस प्रकार लिखा गया है:

यह पढ़ता है: ए> 0 के लिए समीकरण के समाधान का सेट समीकरणों के समाधान के सेट का संघ है और।

उदाहरण 1. समीकरणों को हल करें: a); बी); वी) ; जी) ।

समाधान:
ए)
उत्तर: x1 = 1; x2 = 6.

B) => कोई समाधान नहीं है, क्योंकि किसी भी मान का मापांक (निरपेक्ष मान) ऋणात्मक नहीं हो सकता।
उत्तर: कोई उपाय नहीं हैं।

बी)
उत्तर: x1 = -3; x2 = 0.

डी)
उत्तर: x1 = -3; x2 = 3.

उदाहरण 2. समीकरणों को हल करें: a); बी)।

समाधान:
ए) के अनुसार (1), इस मामले में =, यानी। एफ (एक्स) 2। इसलिए, समीकरण का कोई हल नहीं है।
उत्तर: कोई उपाय नहीं हैं।

उत्तर: x1 = -5; x2 = 0; x3 = 2; x4 = 7.

बी फार्म के समीकरण (2) और (3)।
चूँकि किसी व्यंजक का मापांक ऋणेतर राशि है, इसलिए यदि x समीकरण (2) का हल है, तो इस समीकरण का दाहिना पक्ष ऋणात्मक नहीं है, अर्थात्। ... लेकिन फिर उसी समीकरण के बाईं ओर, परिभाषा के अनुसार, बस है। निष्कर्ष: अनिवार्य शर्त के तहत, हम एक पहचान पर आ गए हैं, इसलिए असमानता के समाधान एक साथ समीकरण (2) के समाधान होंगे।
इसी तरह से तर्क करते हुए, हम पाते हैं कि असमानता के सभी समाधान समीकरण (3) के समाधान हैं।

उदाहरण 3. समीकरणों को हल करें: a); बी); वी) ।
समाधान:
ए)
उत्तर: ।

बी)
उत्तर: ।

सी. फार्म के समीकरण (4)।
यदि x समीकरण (4) का एक हल है, तो मापांक की ज्यामितीय परिभाषा के अनुसार, अंक f और g से मूल बिंदु तक संख्या रेखा पर दूरी बराबर होती है, अर्थात। या तो अंक f और g संयोग करते हैं (हमारे पास :), या वे मूल के संबंध में एक दूसरे के सममित हैं (हमारे पास :)। इसलिए

एक विशेष विशेषता के रूप में, समीकरण का उल्लेख किया जाना चाहिए।
इस समीकरण के सभी हल x हैं जिनके लिए व्यंजक परिभाषित किया गया है।

उदाहरण 4. समीकरणों को हल करें: a); बी); वी) ; जी) ।

समाधान:

ए) यह समीकरण फॉर्म का एक समीकरण है, जहां। यह फ़ंक्शन किसी भी वास्तविक x के लिए परिभाषित है, इसलिए x कोई भी है।
उत्तर: एक्स - कोई भी।

बी)
उत्तर: ।

बी)
.
उत्तर: ।

नोट: चूंकि , तब समीकरण (4) के दोनों पक्षों को चुकता किया जा सकता है, अपने आप को मॉड्यूल से मुक्त किया जा सकता है, और परिणामी समीकरण की जड़ों के बीच हमारे लिए कोई "अनावश्यक" नहीं होगा।
उदाहरण के लिए: हम कहाँ से प्राप्त करते हैं।

D. फॉर्म के समीकरण। (5)
हमारे पास है: परिभाषा के अनुसार गैर-ऋणात्मक अभिव्यक्तियों का योग शून्य के बराबर है। इसलिए, प्रत्येक पद शून्य होना चाहिए। चूंकि अगर और केवल अगर, और अगर और केवल अगर, इसलिए, समीकरण (5) सिस्टम के बराबर है:।
इस प्रणाली को निम्नानुसार हल करना अधिक तर्कसंगत है: समीकरणों में से एक सरल को चुनना, इसके समाधान खोजें और उन्हें शेष समीकरण में प्रतिस्थापित करके पूरे सिस्टम के अनुपालन के लिए जांचें।

उदाहरण 5. समीकरणों को हल करें: a);
बी)।

समाधान:

ए)
पहले समीकरण में x = -1 और x = 1 को बारी-बारी से रखने पर, हम पाते हैं कि निकाय के दोनों समीकरण केवल x = -1 के लिए संतुष्ट हैं।
उत्तर: एक्स = -1।

बी) यह समीकरण सिस्टम के बराबर (समतुल्य) है:

उत्तर: एक्स = -2।
मद 2. अंतराल की विधि। सरलतम प्रणालियों का समाधान।

समीकरण को हल होने दें। एक मॉड्यूल की बीजगणितीय परिभाषा के अनुसार:

इस प्रकार, बिंदु x = 2 संख्या अक्ष को दो अंतरालों में विभाजित करता है, जिनमें से प्रत्येक पर अभिव्यक्ति x-2 के ऊपर मॉड्यूलर ब्रैकेट अलग-अलग तरीकों से विस्तारित होते हैं:

इसलिए, मूल समीकरण का समाधान दो संभावित स्थितियों के अनुक्रमिक विचार के लिए कम हो गया है:
a) मान लीजिए कि x मूल समीकरण का हल है, और।
तब हमारे पास :, जो शर्त के अनुरूप है a)। अतः यह मूल समीकरण का हल है।
बी) मान लीजिए कि एक्स मूल समीकरण का समाधान है, और
तब हमारे पास :, जो शर्त b के अनुरूप नहीं है)। इसलिए, यह मूल समीकरण का हल नहीं है।
माना समीकरण की एक ही जड़ है:।

समीकरण में कई मॉड्यूलर ब्रैकेट होने पर रिक्ति विधि विशेष रूप से उपयोगी होती है। कार्यों के स्पष्ट अनुक्रम को परिभाषित करने में एकमात्र कठिनाई है, इसलिए निम्नलिखित योजना का पालन करने की दृढ़ता से अनुशंसा की जाती है:

1) अज्ञात के सभी मूल्यों को निर्धारित करें जिस पर मापांक चिह्नों के नीचे के भाव गायब हो जाते हैं या अपरिभाषित हो जाते हैं, और प्राप्त बिंदुओं को संख्यात्मक अक्ष पर चिह्नित करते हैं।
2) प्रत्येक पहचाने गए संख्यात्मक अंतराल पर मूल समीकरण को हल करें।
3) पाए गए समाधानों को एक सामान्य उत्तर में मिलाएं।

पहले चरण के अंत में यह लिखना उपयोगी है कि संख्यात्मक अक्ष पर अज्ञात की स्थिति के आधार पर, प्रत्येक मॉड्यूलर ब्रैकेट का विस्तार कैसे किया जाता है।

व्यायाम: एक व्यंजक में मॉड्यूलर कोष्ठक का विस्तार करें।
सबसे पहले, हम आंतरिक कोष्ठक पर विचार करते हैं: के लिए, इसलिए हम संख्यात्मक अक्ष पर एक बिंदु को चिह्नित करते हैं।
फिर हम बाहरी कोष्ठक पर विचार करते हैं: हम समीकरण को हल करते हैं (उपरोक्त अंतराल की विधि द्वारा समाधान किया जाता है:

पहले समीकरण का कोई मूल नहीं है, और दूसरे के मूल संख्या 1 और -1 हैं, लेकिन x = 1 शर्त को पूरा नहीं करता है)।
इसके अलावा, एक मनमाना x चुनना, -1 से बड़ा, उदाहरण के लिए x = 0, हम सुनिश्चित करते हैं कि x> -1 के लिए; एक मनमाना x को -1 से कम चुनना, उदाहरण के लिए x = -2, हम सुनिश्चित करते हैं कि x . के लिए

परिणामस्वरूप अंक x = -1 और x = 0 अंकीय अक्ष पर अंकित होते हैं। प्रत्येक परिणामी अंतराल पर, मूल अभिव्यक्ति में मॉड्यूल एक "श्रृंखला" (*) के साथ विस्तारित होते हैं:

पर;
पर;
पर।

उदाहरण 6 समीकरणों को हल करें: a); बी); वी) ; जी) ।
समाधान:

ए) स्टेज I।
... इसलिए:
.

चरण II।
1) फिर, इसलिए, मूल समीकरण का रूप लेगा:।

2))। फिर, इसलिए, मूल समीकरण रूप लेगा: जो विचाराधीन खंड के अनुरूप नहीं है, इसलिए, इस अंतराल पर, मूल समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं।
3) फिर, इसलिए, मूल समीकरण रूप लेगा: जो माना गया आधा-अंतराल से मेल खाता है, इसलिए, मूल समीकरण।
चरण III।
पहले और दूसरे संख्यात्मक अंतराल पर, समीकरण का कोई हल नहीं है। तीसरे पर, हमें एक निर्णय मिला।
उत्तर: ।

बी) स्टेज I।
इसलिए:

हमारे पास निम्नलिखित संख्यात्मक श्रेणियां हैं:

चरण II।
1) फिर, इसलिए, मूल समीकरण का रूप लेगा:
हमें सही संख्यात्मक समानता मिली है, इसलिए दिए गए आधे अंतराल में से कोई भी मूल समीकरण का हल है!
2))। हमारे पास पहले चरण के परिणामों के अनुसार मॉड्यूल का विस्तार है: जो विचाराधीन खंड से मेल खाता है, इसलिए मूल समीकरण का एक समाधान है।
3) मॉड्यूल का विस्तार करें:
हमें गलत संख्यात्मक समानता प्राप्त हुई है, इसलिए इस आधे अंतराल पर मूल समीकरण का कोई मूल नहीं है।

चरण III।
पहले अंतराल में:
दूसरे अंतराल पर:
तीसरे अंतराल में: कोई समाधान नहीं हैं।
परिणाम:
उत्तर:

सी) स्टेज I।
सबसे पहले, हम "आंतरिक" मॉड्यूल पर विचार करते हैं, फिर "बाहरी" पर:
1) x = 0 के लिए x = 0 =>
2)
इस समीकरण को अलग से हल किया जाना चाहिए। ध्यान दें कि जिन संख्यात्मक अंतरालों पर विचार किया जाना है, वे पहले से ही ज्ञात हैं (देखें (*)):
क्योंकि, हमारे पास कोई समाधान नहीं है
क्योंकि हमारे पास है,
लेकिन X1 शर्त से मेल नहीं खाता।
इसलिए, ।
व्यंजक स्वयं के लिए धनात्मक है (उदाहरण के लिए, x = 10 :) और ऋणात्मक के लिए (उदाहरण के लिए, x = 1 :)। इसलिए:

हमारे पास निम्नलिखित संख्यात्मक श्रेणियां हैं:

चरण II।
प्रत्येक अंतराल पर, पहले बाहरी मॉड्यूलर ब्रैकेट खोलें, फिर आंतरिक।
1) .
:, जो माना अंतराल से मेल खाती है, इसलिए मूल समीकरण का एक हल है।
2) .
: .
आइए हम दिए गए खंड में पाए गए मूलों के पत्राचार की जाँच करें: - जाहिर है, आइए अब जाँच करें कि क्या संबंध

जाहिर है, यानी। एक बाहरी जड़ है।
3) .
:. आइए देखें कि दिए गए आधे-अंतराल के लिए प्राप्त पत्राचार: मूल समीकरण का मूल है।

चरण III।
;
;
.
उत्तर: ।

डी) इस समीकरण की एक विशेषता भिन्न के हर में एक अज्ञात मात्रा की उपस्थिति है, इसलिए, प्रत्येक संख्यात्मक अंतराल पर समीकरण (टीओसी) की परिभाषा के क्षेत्र को खोजना आवश्यक है।

हमारे पास दो अर्ध-अंतराल हैं:

चरण II।
1) मॉड्यूल का विस्तार और सरलीकरण, हम समीकरण प्राप्त करते हैं।
ओओयू:. टीओसी से, जाहिर है, हम सही समानता प्राप्त करते हैं, अर्थात। सभी मूल समीकरण के हल हैं।
2) मॉड्यूल का विस्तार और सरलीकरण, हम टीओसी समीकरण प्राप्त करते हैं:। फिर, जो माना गया अर्ध-अंतराल से मेल खाती है, इसलिए मूल समीकरण का एक समाधान है।

उत्तर: ।

बी। एक निरपेक्ष मूल्य के संकेत वाले समीकरणों की सरल प्रणालियों को हल करने में कठिनाई नहीं होनी चाहिए: एक नियम के रूप में, यह छात्रों को ज्ञात प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करने के लिए पर्याप्त है।

उदाहरण 7. समीकरणों के निकाय को हल करें:
ए बी सी डी)

समाधान:
ए) सिस्टम के पहले समीकरण से हम प्राप्त करते हैं:
फिर, प्रतिस्थापन (*) के बाद, दूसरा समीकरण रूप लेगा:
.
(*) के अनुसार: पर के लिए।
उत्तर:

बी) सिस्टम के पहले समीकरण से हम प्राप्त करते हैं:
.
के लिए, प्रणाली के दूसरे समीकरण से, हम प्राप्त करते हैं
क्रमशः, एक्स = 2.
प्रणाली के दूसरे समीकरण से हमें y = -5 प्राप्त होता है।
उत्तर: ।

सी) सिस्टम के दूसरे समीकरण से हम प्राप्त करते हैं:
.
के लिए, पहले समीकरण से हम प्राप्त करते हैं।
पहले समीकरण से हम प्राप्त करते हैं; क्रमश, ।
उत्तर: ।

डी) इस मामले में, अतिरिक्त विधि का उपयोग करना आसान है, और परिणामी समीकरण को हल करना - अंतराल विधि।
.

1) हमें कोई समाधान नहीं मिलता है;
2) हमें मिलता है।
निष्कर्ष: और अब हम पहले समीकरण से प्राप्त करते हैं।
उत्तर: ।

बिंदु 3. तर्कसंगत तरीकेसमाधान: सरल ज्यामितीय और बीजगणितीय विचार, अंतराल की विधि का सामान्यीकरण, चर का परिवर्तन।

ए। कुछ सरल समीकरण स्पष्ट ज्यामितीय व्याख्या की अनुमति देते हैं, उनका समाधान बहुत सरल है - "अनुचित" संख्यात्मक अंतराल को तुरंत विचार से बाहर रखा गया है।
आइए पहले हम यह दिखाएं कि ज्यामितीय रूप से संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने वाले संख्यात्मक अक्ष के बिंदुओं के बीच की दूरी है और। ऐसा करने के लिए, संख्यात्मक अक्ष पर, जहां हम पहले ही चिह्नित कर चुके हैं और मूल बिंदु को बिंदु पर ले जाते हैं। बिंदुओं के निर्देशांक बदल जाएंगे:

बिंदुओं और इसके बीच की दूरी, संदर्भ के नए फ्रेम के अनुसार, बिंदुओं के बीच की दूरी और, यानी।

उदाहरण 8. समीकरणों को हल करें: ए) बी) सी) डी) ई)।

समाधान:
a) संख्यात्मक अक्ष पर इस तरह x इंगित करना आवश्यक है कि x से 1 और x से 3 तक की दूरी का योग 3 इकाइयों के बराबर हो। 1 और 3 के बीच की दूरी 2 इकाई है, इसलिए (अन्यथा)। यह पता चला है कि x या तो 1 के बाईं ओर स्थित है, या 3 के दाईं ओर - उनसे कुछ दूरी पर, और किसी भी स्थिति में। इसलिए जहां.

दो x मान अब आसानी से मिल जाते हैं।
उत्तर: ।
b) संख्यात्मक अक्ष पर ऐसे बिंदु 2x को इंगित करना आवश्यक है कि 2x से -2 की दूरी 2x से 7 की दूरी से 9.12 इकाइयों से अधिक है।
यदि, माना गया अंतर हमेशा -9 है;
यदि, माना गया अंतर हमेशा 9 होता है;
यदि माना गया अंतर 9 से कम या उसके बराबर है।
उदाहरण के लिए, चलो:

फिर।
उत्तर: कोई उपाय नहीं हैं।

सी) समीकरण को फिर से लिखें। इसलिए, अभीष्ट x 2 की तुलना में 3 के तीन गुना अधिक निकट है:

=> कोई समाधान नहीं, क्योंकि x हमेशा 3 से 2 के करीब होता है;
"आंख से";
=> "आंख से",।
उत्तर: ।

डी) यह उदाहरण दिखाता है कि संख्या अक्ष का अंतराल में "सख्त" विभाजन ("अतिव्यापी" विचारों के बिना) बहुत उपयोगी है:

कोई उपाय नहीं हैं;
(माना गया आधा अंतराल के अनुरूप);
कोई समाधान नहीं।
उत्तर: ।

ई) चलो रिक्ति विधि लागू करके शुरू करते हैं:

अब हम ध्यान दें कि दिए गए खंड के अंदर और बाहर। इसलिए, केवल इस अंतराल पर समीकरण पर विचार करना समझ में आता है, और हम प्राप्त करते हैं:। जाहिर है, एक्स = 2.
उत्तर: ।

बी। समीकरण के दाएं और बाएं पक्षों के मूल्यों की श्रेणियों का अध्ययन करते हुए, अज्ञात के स्पष्ट रूप से अनुचित मूल्यों को छोड़कर, समाधान के पाठ्यक्रम को सरल बनाना अक्सर संभव होता है।

उदाहरण 9. समीकरणों को हल करें: ए) बी) सी) डी)।

समाधान:

ए) समीकरण का बायां पक्ष किसी भी एक्स के लिए गैर-ऋणात्मक है, और दायां पक्ष एक नकारात्मक संख्या है।
उत्तर: कोई उपाय नहीं हैं।

बी) समीकरण का बायां पक्ष किसी भी एक्स के लिए गैर-ऋणात्मक है, इसलिए, यदि एक्स एक समाधान है, तो दायां हाथ भी गैर-ऋणात्मक है। इसलिए, उस क्षेत्र से केवल x के मानों पर विचार करना पर्याप्त है। लेकिन फिर गलत समानता मिली।
उत्तर: कोई उपाय नहीं हैं।
ग) व्यंजक किसी भी x के लिए धनात्मक है, इसलिए बाहरी मॉड्यूलर कोष्ठकों को हटाया जा सकता है। इसके अलावा, यदि x एक हल है, तो दाहिनी ओर भी सकारात्मक है, इसलिए डोमेन से x पर विचार करना पर्याप्त है। तब हम प्राप्त करते हैं (क्षेत्र के अनुरूप)।
उत्तर: ।

डी) दो गैर-ऋणात्मक शब्दों का योग 1 के बराबर है यदि प्रत्येक शब्द एक से अधिक नहीं है: चूंकि, तब संकेतित खंड पर हम प्राप्त करते हैं, तो, जाहिर है, हम संतुष्ट नहीं हैं। इसलिए, यदि x एक हल है, तो। और इस आधे अंतराल पर हम पाते हैं
यह स्पष्ट है कि यह एक बाहरी जड़ है।
उत्तर: ।

सी. फार्म के समीकरणों पर विचार करें (1)
अंतराल की विधि द्वारा इस समीकरण को हल करने पर, हम उन अंतरालों के लिए एक समीकरण प्राप्त करते हैं, जहां और अंतराल के लिए समीकरण, जहां। यह स्पष्ट है कि प्रत्येक अंतराल पर अलग से विचार करने का कोई मतलब नहीं है - यह उन्हें दो संकेतित समूहों में विभाजित करने के लिए पर्याप्त है: प्रत्येक के लिए संबंधित समीकरण को हल करना चाहिए और निर्दिष्ट स्थिति के अनुपालन के लिए प्राप्त जड़ों की जांच करना चाहिए। इस तरह

एक अन्य विकल्प भी संभव है: यह स्पष्ट है कि समीकरण के हलों में, समीकरण (1) के वास्तविक मूल वे होंगे जिनके लिए, मामले के लिए समान तर्क करने पर, हम प्राप्त करते हैं

कौन सा विकल्प चुनना है यह फ़ंक्शन के प्रकार पर निर्भर करता है, उदाहरण के लिए, यदि समीकरणों के समाधान में परीक्षण के लिए स्थानापन्न करना आसान है, तो पहली विधि को लागू करना अधिक उचित है।

उदाहरण 10. समीकरणों को हल करें: a)
बी) सी)।

समाधान:

ए) मान लीजिए
तो हमारे पास हैं
मान लेना
फिर हमारे पास कोई उपाय नहीं है।
आइए अब प्राप्त जड़ों की जांच करें। आइए मूल समीकरण को फिर से लिखें:
... क्योंकि, दोनों जड़ें सच हैं।
उत्तर:

बी) मान लीजिए
फिर हमारे पास कोई उपाय नहीं है।
मान लेना
तो हमारे पास हैं
इन जड़ों की सच्चाई का निर्धारण करने के लिए, स्थिति की जाँच करें।हमें मिलता है: जाहिर है, जड़ बाहरी है। जाँच करने के लिए, आइए जानें कि क्या यह सच है। चूंकि, विचाराधीन असमानता संतुष्ट नहीं है।
उत्तर: कोई उपाय नहीं हैं।

सी) आइए समीकरण को फिर से लिखें: हम निम्नलिखित ग्राफिक चित्रण का उपयोग करते हैं: (यहां कार्यों के ग्राफ हैं और)।

अब यह स्पष्ट है कि परिणामी संख्यात्मक अंतरालों को निम्नलिखित तीन समूहों में जोड़ा जाना चाहिए:
एक) । हम प्राप्त करते हैं (कथित शर्त के अनुरूप)।
2) हमें मिलता है
कोई समाधान नहीं।
3) हमें मिलता है
कोई समाधान नहीं।
उत्तर: ।

D. कुछ व्यंजकों को एक नए शाब्दिक चर से बदलने की विधि सर्वविदित है। आप केवल यह देख सकते हैं कि मापांक वाले समीकरणों को हल करते समय, अक्सर नए चर की भिन्नता की सीमा को तुरंत सीमित करना संभव होता है।
उदाहरण 11. समीकरणों या समीकरणों के निकाय को हल करें: a);
बी);
वी)

समाधान:
a) नए चर के स्थान पर हमें निकाय प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि और समीकरण के मूल हैं।
उत्तर: ।

बी) व्यंजक को एक नए चर के साथ बदलने पर, हमें समीकरण मिलता है। हम पाते हैं:
... इन समीकरणों को हल करना बाकी है।
उत्तर: ।

सी) समीकरण को फिर से लिखें:
जाहिर है, दो विकल्प संभव हैं:
1)
2) एक नए चर के साथ बदलें। ध्यान दें कि प्रतिस्थापन के अर्थ के अनुसार और इस समीकरण के ODD के अनुसार, अर्थात। (*) और समीकरण का रूप ले लेगा। चूंकि हमें मिलता है
खाते (*) को ध्यान में रखते हुए, हम अंत में प्राप्त करते हैं
इसलिए, के साथ प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं
चूंकि, प्रतिस्थापन के अर्थ से, हम प्राप्त करते हैं

1 के लिए कार्यों को नियंत्रित करें।
1) किसी संख्या के मापांक की परिभाषा का उपयोग करके हल करें:
ए) बी) सी) डी) ई) एफ) जी) एच) i) जे)।

2) "मानक" समीकरणों को हल करें:
ए) बी) सी) डी) ई) एफ) जी) एच) मैं)।

3) अंतराल की विधि से हल करें:
ए) बी); सी) डी) ई) एफ) जी) एच) i) के) एल) एम) एन) ओ) एन) पी) सी) टी) वाई) एफ) एक्स) एच)

4) तर्कसंगत तरीके से निर्णय लें:
ए) बी) सी) डी) ई) एफ) जी) एच) i) जे) एल) एम) एन)

5) समीकरणों के सिस्टम को हल करें:
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) l) m) n) o) n) p)