Trova la distanza tra le rette nel cubo. La distanza tra le linee rette nello spazio è la distanza tra due

Tra l'enorme numero di problemi stereometrici nei libri di testo di geometria, in varie raccolte di problemi, nei manuali di formazione per le università, i compiti per trovare la distanza tra le linee rette che si incrociano sono estremamente rari. Forse questo è dovuto sia alla ristrettezza della loro applicazione pratica (rispetto al curriculum scolastico, in contrasto con i problemi "vincenti" per il calcolo di aree e volumi), sia alla complessità di questo argomento.

La pratica dell'USE mostra che molti studenti non iniziano affatto a completare i compiti di geometria che fanno parte della prova d'esame. Per garantire il completamento con successo di compiti geometrici di un maggiore livello di complessità, è necessario sviluppare flessibilità di pensiero, capacità di analizzare la configurazione prevista e isolare le parti in essa, la cui considerazione consente di trovare un modo per risolvere il problema.

Il corso scolastico prevede lo studio di quattro modi per risolvere i problemi per trovare la distanza tra le linee rette che si incrociano. La scelta del metodo è determinata, prima di tutto, dalle peculiarità di un compito specifico, dalle possibilità di scelta fornite da esso e, in secondo luogo, dalle capacità e dalle caratteristiche del "pensiero spaziale" di un particolare studente. Ciascuno di questi metodi consente di risolvere la parte più importante del problema: la costruzione di un segmento perpendicolare a entrambe le linee rette intersecanti (per la parte computazionale dei problemi non è richiesta la divisione in metodi).

I principali metodi per risolvere i problemi di trovare la distanza tra le linee di attraversamento

Trovare la lunghezza della perpendicolare comune di due linee che si intersecano, ad es. un segmento con estremità su queste linee e perpendicolare a ciascuna di queste linee.

Trovare la distanza da una delle rette intersecanti a un piano parallelo ad essa e passante per un'altra retta.

Trovare la distanza tra due piani paralleli passanti per rette intersecanti date.

Trovare la distanza da un punto che è la proiezione di una delle rette incrociate su un piano ad esso perpendicolare (il cosiddetto "schermo") alla proiezione di un'altra retta sullo stesso piano.

Dimostreremo tutti e quattro i metodi sul seguente più semplice compito: "In un cubo con un bordo un trova la distanza tra qualsiasi bordo e la diagonale che non lo interseca. "Risposta:.

Immagine 1

h skr è perpendicolare al piano della faccia laterale contenente la diagonale D ed è perpendicolare al bordo, quindi, h skr ed è la distanza tra il bordo un e diagonale D.

Immagine 2

Il piano A è parallelo al bordo e passa per la diagonale data; quindi, il dato h skr non è solo la distanza dal bordo al piano A, ma anche la distanza dal bordo alla diagonale data.

Figura 3

I piani A e B sono paralleli e passano per due linee di incrocio date, quindi la distanza tra questi piani è uguale alla distanza tra le due linee di incrocio.

Figura 4

Il piano A è perpendicolare al bordo del cubo. Quando proiettato su A, la diagonale D questa diagonale si trasforma in uno dei lati della base del cubo. Questo h skrè la distanza tra la retta contenente lo spigolo e la proiezione della diagonale sul piano C, e quindi fra la retta contenente lo spigolo e la diagonale.

Soffermiamoci più in dettaglio sull'applicazione di ciascun metodo per i poliedri studiati a scuola.

L'applicazione del primo metodo è piuttosto limitata: è ben utilizzato solo in alcuni problemi, poiché è abbastanza difficile determinare e giustificare la posizione esatta nei problemi più semplici e la posizione approssimativa della perpendicolare comune di due linee che si intersecano in complessi quelli. Inoltre, quando si trova la lunghezza di questa perpendicolare in problemi complessi, si possono incontrare difficoltà insormontabili.

Problema 1. In un parallelepipedo rettangolare con dimensioni a, b, h trova la distanza tra il bordo laterale e la diagonale della base che non si interseca con esso.

Figura 5

Lascia che AHBD. Poiché A 1 A è perpendicolare al piano ABCD, allora A 1 A AH.

AH è perpendicolare a entrambe le due linee che si incrociano, quindi AH?È la distanza tra le linee А 1 А e BD. In un triangolo rettangolo ABD, conoscendo le lunghezze dei cateti AB e AD, troviamo l'altezza AH usando le formule per calcolare l'area di un triangolo rettangolo. Risposta:

Problema 2. In una piramide quadrangolare regolare con un bordo laterale l e il lato della base un trova la distanza tra l'apotema e il lato della base che attraversa la faccia laterale contenente questo apotema.

Figura 6

SHCD come apotema, ADCD come ABCD è un quadrato. Pertanto, DH è la distanza tra le linee SH e AD. DH è uguale alla metà del lato di CD. Risposta:

L'applicazione di questo metodo è anche limitata dal fatto che se puoi costruire rapidamente (o trovare un piano già pronto) che passa per una delle rette incrociate parallela a un'altra retta, allora costruisci una perpendicolare da qualsiasi punto della la seconda retta a questo piano (all'interno del poliedro) causa difficoltà. Tuttavia, in compiti semplici, in cui la costruzione (o la ricerca) della perpendicolare specificata non causa difficoltà, questo metodo è il più veloce e semplice e quindi disponibile.

Problema 2. La soluzione del problema di cui sopra con questo metodo non causa particolari difficoltà.

Figura 7

Il piano EFM è parallelo alla retta AD, perché ad AD || EF. La linea MF giace in questo piano, quindi la distanza tra la linea AD e il piano EFM è uguale alla distanza tra la linea AD e la linea MF. Facciamo l'OHAD. OHEF, OHMO, quindi OH (EFM), quindi OH è la distanza tra la retta AD e il piano EFM, e quindi la distanza tra la retta AD e la retta MF. Trova OH dal triangolo AOD.

Problema 3. In un parallelepipedo rettangolare con dimensioni a, b e h trova la distanza tra il bordo laterale e la diagonale del parallelepipedo che non lo interseca.

Figura 8

La linea AA 1 è parallela al piano BB 1 D 1 D, B 1 D appartiene a questo piano, quindi la distanza da AA 1 al piano BB 1 D 1 D è uguale alla distanza tra le linee AA 1 e B 1 D. Disegniamo AHBD. Inoltre, AH B 1 B, quindi AH (BB 1 D 1 D), quindi AHB 1 D, cioè AH è la distanza richiesta. Trova AH dal triangolo rettangolo ABD.

Risposta:

Problema 4. In un prisma esagonale regolare A: F 1 con altezza h e il lato della base un trova la distanza tra le righe:

Figura 9 Figura 10

a) AA 1 e ED 1.

Consideriamo il piano E 1 EDD 1. A 1 E 1 EE 1, A 1 E 1 E 1 D 1, quindi

LA 1 MI 1 (MI 1 EDD 1). Anche A 1 E 1 AA 1. Pertanto, A 1 E 1 è la distanza dalla linea AA 1 al piano E 1 EDD 1. ED 1 (E 1 EDD 1)., Pertanto AE 1 è la distanza dalla retta AA 1 alla retta ED 1. Trova A 1 E 1 dal triangolo F 1 A 1 E 1 con il teorema del coseno. Risposta:

b) AF e diagonale BE 1.

Traccia dal punto F una retta FH perpendicolare a BE. EE 1 FH, FHBE, quindi FH (BEE 1 B 1), quindi FH è la distanza tra la linea AF e (BEE 1 B 1), e quindi la distanza tra la linea AF e la diagonale BE 1. Risposta:

METODO III

L'applicazione di questo metodo è estremamente limitata, poiché un piano parallelo ad una delle rette (metodo II) è più facile da costruire rispetto a due piani paralleli, tuttavia, il metodo III può essere utilizzato nei prismi se le linee incrociate appartengono a facce parallele, così come nei casi in cui il poliedro È facile creare sezioni parallele contenenti le linee date.

Compito 4.

Figura 11

a) I piani BAA 1 B 1 e DEE 1 D 1 sono paralleli, poiché AB || ED e AA 1 || EE 1. ED 1 DEE 1 D 1, AA 1 (BAA 1 B 1), quindi la distanza tra le rette AA 1 e ED 1 è uguale alla distanza tra i piani BAA 1 B 1 e DEE 1 D 1. A 1 E 1 AA 1, A 1 E 1 A 1 B 1, quindi A 1 E 1 BAA 1 B 1. Dimostriamo in modo simile che A 1 E 1 (DEE 1 D 1). Quindi, A 1 E 1 è la distanza tra i piani BAA 1 B 1 e DEE 1 D 1, e quindi tra le rette AA 1 e ED 1. Trova A 1 E 1 dal triangolo A 1 F 1 E 1, che è isoscele con l'angolo A 1 F 1 E 1 uguale a. Risposta:

Figura 12

b) La distanza tra AF e la diagonale BE 1 si trova nello stesso modo.

Problema 5. In un cubo con un bordo un trova la distanza tra due diagonali disgiunte di due facce adiacenti.

Questo problema è considerato classico in alcuni libri di testo, ma, di regola, la sua soluzione è data dal metodo IV, ma è abbastanza accessibile per la soluzione usando il metodo III.

Figura 13

Qualche difficoltà in questo problema è causata dalla dimostrazione della perpendicolarità della diagonale A 1 C ad entrambi i piani paralleli (AB 1 D 1 || BC 1 D). B 1 CBC 1 e BC 1 A 1 B 1, quindi la linea BC 1 è perpendicolare al piano A 1 B 1 C, e quindi BC 1 A 1 C. Inoltre, A 1 CBD. Di conseguenza, la retta A 1 C è perpendicolare al piano BC 1 D. La parte computazionale del problema non presenta particolari difficoltà, poiché h skr= EF si trova come differenza tra la diagonale del cubo e le altezze di due piramidi regolari identiche A 1 AB 1 D 1 e CC 1 BD.

METODO IV.

Questo metodo è ampiamente utilizzato. Per compiti di media e alta difficoltà, può essere considerato il principale. Non è necessario applicarlo solo quando uno dei tre metodi precedenti funziona in modo più semplice e veloce, poiché in tali casi il metodo IV può solo complicare la soluzione del problema o renderne difficile l'accesso. Questo metodo è molto vantaggioso da utilizzare in caso di perpendicolarità di linee incrociate, poiché non è necessario costruire una proiezione di una delle linee sullo "schermo"

L e lato del fondo un.

Figura 16

In questo e in altri problemi simili, il metodo IV porta a una soluzione più rapida di altri metodi, poiché costruendo una sezione che svolge il ruolo di uno "schermo" perpendicolare ad AC (triangolo BDM), è chiaro che oltre non è necessario costruire una proiezione di un'altra linea retta (BM) su questo schermo. DH è la distanza richiesta. DH si trova dal triangolo MDB usando le formule dell'area. Risposta: .

La distanza tra le linee che si incrociano è la lunghezza della loro perpendicolare comune (un segmento con estremità su queste linee e perpendicolare a ciascuna di esse). Metodo di calcolo passo-passo (costruzione di una perpendicolare comune). b ρ Esempio a

Costruisci un piano contenente una delle rette e parallelo alla seconda. Quindi la distanza richiesta sarà uguale alla distanza da un punto della seconda linea retta al piano costruito (in questa fase, è possibile utilizzare il metodo delle coordinate) Metodo di linee e piani paralleli. Esempio b ρ a α A B shah.ucoz.ru/load/egeh/egeh_s2/k oordinatnyj_metod_kljuchevye_za dachi /

Costruisci un piano perpendicolare a una di queste linee e costruisci su questo piano una proiezione ortogonale di un'altra linea. Metodo di progettazione ortogonale. Esempio b ρ а α А В Н С CB - proiezione b

Se AB e CD sono archi incrociati della piramide triangolare ABCD, d è la distanza tra loro, α è l'angolo tra AB e CD, V è il volume della piramide ABCD, quindi il problema di riferimento. Esempio B C A D Per i metodi per trovare l'angolo tra le linee rette, vedere:

Determina le coordinate dal sistema, quindi trova Let, quindi la condizione è soddisfatta: Determina le coordinate dei vettori di direzione e. Archivio Fotografico - metodo delle coordinate. Esempio B C A D Nota: per registrare le coordinate dei punti M e K utilizzare la formula: M K Se AM: MB = k, allora

In una piramide regolare quadrangolare SABCD, i cui bordi sono tutti uguali a 1, trova la distanza tra le rette BD e SA. Soluzione: D. p .: OH può essere trovato dal triangolo AOS con il metodo dell'area. O А В С D S H OH - comune perpendicolare alle linee BD e AS Indietro

In una piramide regolare quadrangolare SABCD, i cui bordi sono tutti uguali a 1, trova la distanza tra le rette BD e SA. Soluzione: (metà diagonale del quadrato unitario) O A B C D S H Indietro

In un prisma triangolare regolare ABCA 1 C 1 B 1, i cui bordi sono tutti uguali a 1, trova la distanza tra le rette АA 1 e B 1 C. Soluzione: BC C1C1 B1B1 H А А1А1 D. p.: (Perpendicolare tracciato all'intersezione dei piani perpendicolari) Dal triangolo ASN Indietro

In una piramide regolare troncata quadrangolare ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 con lati di base pari a 4 e 8 e altezza pari a 6 trova la distanza tra la diagonale e BD 1 diagonale della base maggiore AC. Soluzione: B А С D А1А1 B1B1 C1C1 D1D1 O O1O1 D. p.: H (è la sua proiezione su (BB 1 D 1)) Consideriamo un trapezio isoscele BB 1 D 1 D Indietro

In una piramide regolare troncata quadrangolare ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 con lati di base pari a 4 e 8 e altezza pari a 6 trova la distanza tra la diagonale e BD 1 diagonale della base maggiore AC. Soluzione: BD B1B1 D1D1 O Indietro K H Nel triangolo BD 1 K I triangoli BD 1 K e BOH sono simili in due angoli Nel triangolo BHO

Nel cubo unitario ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 troviamo la distanza tra la diagonale del cubo BD 1 e la diagonale della faccia AB 1. Soluzione: Consideriamo la piramide D 1 AB 1 B. Per la base prendiamo AB 1 B, allora l'altezza è BC. (la diagonale del quadrato unitario) А С D D1D1 В1В1 С А1А1 В (la diagonale del cubo unitario) Troviamo l'angolo tra le linee rette AB 1 e В 1 D 1. Puoi usare il metodo vettore - coordinate. Di ritorno

Nel cubo unitario ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 trovare la distanza tra la diagonale del cubo BD 1 e la diagonale della faccia AB 1. Soluzione: Introdurre il sistema di coordinate rettangolari А С D D1D1 В1В1 С А1А1 В XZY Allora: Di ritorno

Nel cubo unitario ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 trova la distanza tra la diagonale del cubo BD 1 e la diagonale della faccia AB 1. Soluzione: А С D D1D1 В1В1 С А1А1 В Indietro

Nel cubo unitario ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 trovare la distanza tra la diagonale del cubo AB 1 e la diagonale della faccia A 1 C 1. Soluzione: А С D D1D1 В1В1 С А1А1 В Introdurre un sistema di coordinate rettangolare Allora : Let М К Quindi: XZY Indietro e

Nel cubo unitario ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 trova la distanza tra la diagonale del cubo AB 1 e la diagonale della faccia A 1 C 1. Soluzione: А С D D1D1 В1В1 С А1А1 В X Z Y М К Indietro

Nel cubo unitario ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 trovare la distanza tra la diagonale del cubo AB 1 e la diagonale della faccia A 1 C 1. Soluzione: Indietro

2) In una piramide regolare quadrangolare MABCD, tutti i cui bordi sono uguali a 1, trovare la distanza tra le linee MA e BC Esercizi di allenamento Soluzione 3) Il lato di base ABC di una piramide regolare triangolare ABCD è uguale, l'altezza della piramide DO = 6. I punti A 1, C 1 sono rispettivamente i punti medi degli archi AD e CD. Trovare la distanza tra le linee BA 1 e AC 1. Soluzione 1) Trovare la distanza tra le diagonali disgiunte di due facce adiacenti di un cubo la cui lunghezza del bordo è 1.

Soluzione: Indietro Compiti 1) Trova la distanza tra le diagonali disgiunte di due facce adiacenti di un cubo, la cui lunghezza del bordo è 1. .: Trova O 1 N Trova dal triangolo B 1 OO 1

Soluzione: А D В С М О Н 2) In una piramide regolare quadrangolare MABCD, i cui bordi sono tutti uguali a 1, trovare la distanza tra le linee MA e BC. (triangolo AMD - equilatero) Trova l'angolo tra le rette AD e BC. Compiti dell'aeromobile || ANNUNCIO => ">"> "title =" (! LANG: Soluzione: А D В С М О Н 2) In una piramide regolare quadrangolare MABCD, i cui bordi sono tutti uguali a 1, trova la distanza tra le linee MA e BC. (triangolo AMD - equilatero) Trova l'angolo tra le rette AD e BC. Compiti dell'aeromobile || ANNUNCIO =>"> title="Soluzione: А D В С М О Н 2) In una piramide regolare quadrangolare MABCD, i cui bordi sono tutti uguali a 1, trovare la distanza tra le linee MA e BC. (triangolo AMD - equilatero) Trova l'angolo tra le rette AD e BC. Compiti dell'aeromobile || ANNUNCIO =>"> !}

А В С D Soluzione: А1А1 С1С1 3) Il lato della base ABC di una piramide triangolare regolare ABCD è uguale, l'altezza della piramide DO = 6. I punti A 1, C 1 sono rispettivamente i punti medi degli archi AD e CD. Trova la distanza tra le rette BA 1 e AC 1. Segmenti AC 1 e BA 1 - gli spigoli della piramide triangolare C 1 ABA 1 (problema di riferimento). 5) Il volume della piramide con base BA 1 A? 4) Distanza dal punto C 1 al piano (BDA) (altezza della piramide)? 6) ρ (VA 1; AC 1)? 1) Lunghezza delle nervature BA 1 e AC 1? 2) Il seno dell'angolo tra le rette BA 1 e AC 1? 3) L'area della base della piramide - VA 1 A? O Compiti

A 3) Il lato di base ABC di una piramide triangolare regolare ABCD è uguale, l'altezza della piramide DO = 6. I punti A 1, C 1 sono rispettivamente i punti medi degli archi AD e CD. Trovare la distanza tra le rette BA 1 e AC 1. Soluzione: O А D А1А1 XZY х CxC 1) Introdurre un sistema di coordinate rettangolare Quindi: хDхD Trovare le coordinate dei punti C e DBXYOCH (proprietà delle mediane dei triangoli) хDхD х CxC С B С1С1 Problemi

Il lato di base ABC di una piramide triangolare regolare ABCD è uguale, l'altezza della piramide DO = 6. I punti A 1, C 1 sono rispettivamente i punti medi degli archi AD e CD. Trovare la distanza tra le rette BA 1 e AC 1. Soluzione: А В С D А1А1 С1С1 X Z Y (punti medi СD e АD) Determinare le coordinate dei vettori di direzione del Problema

Il lato di base ABC di una piramide triangolare regolare ABCD è uguale, l'altezza della piramide DO = 6. I punti A 1, C 1 sono rispettivamente i punti medi degli archi AD e CD. Trovare la distanza tra le linee BA 1 e AC 1. Soluzione: 4) Trovare la distanza dal punto C 1 al piano (BDA) (l'altezza della piramide). Deriviamo l'equazione dei problemi del piano (EFP)

Durante la creazione di una presentazione, è stato utilizzato il seguente tutorial:

DISTANZA TRA LE LINEE NELLO SPAZIO La distanza tra due linee che si incrociano nello spazio è la lunghezza della perpendicolare comune tracciata a queste linee. Se una delle due linee che si intersecano si trova in un piano e l'altra è parallela a questo piano, la distanza tra queste linee è uguale alla distanza tra la linea e il piano. Se due linee che si incrociano giacciono su piani paralleli, la distanza tra queste linee è uguale alla distanza tra i piani paralleli.

Cubo 1 Nel cubo unitario A... D 1, trova la distanza tra le linee AA 1 e BC. Risposta 1.

Cubo 2 Nel cubo unitario A... D 1, trova la distanza tra le linee AA 1 e CD. Risposta 1.

Cubo 3 Nel cubo unitario A... D 1 trova la distanza tra le linee AA 1 e B 1 C 1. Risposta: 1.

Cubo 4 Nel cubo unitario A... D 1, trova la distanza tra le linee AA 1 e C 1 D 1. Risposta: 1.

Cubo 5 Nel cubo unitario A... D 1 trova la distanza tra le linee AA 1 e BC 1. Risposta: 1.

Cubo 6 Nel cubo unitario A... D 1 trova la distanza tra le linee AA 1 e B 1 C. Risposta: 1.

Cubo 7 Nel cubo unitario A... D 1, trova la distanza tra le linee AA 1 e CD 1. Risposta: 1.

Cubo 8 Nel cubo unitario A... D 1, trova la distanza tra le linee AA 1 e DC 1. Risposta: 1.

Cubo 9 Nel cubo unitario A... D 1, trova la distanza tra le linee AA 1 e CC 1. Risposta:

Cubo 10 Nel cubo unitario A... D 1, trova la distanza tra le linee AA 1 e BD. Soluzione. Sia O il punto medio di BD. La distanza desiderata è la lunghezza del segmento di linea AO. È uguale a Risposta:

Cubo 11 Nel cubo unitario A ... D 1 trova la distanza tra le linee AA 1 e B 1 D 1. Risposta:

Cubo 12 Nel cubo unitario A... D 1, trova la distanza tra le linee AA 1 e BD 1. Soluzione. Siano P, Q i punti medi AA 1, BD 1. La distanza desiderata è la lunghezza del segmento PQ. È uguale a Risposta:

Cubo 13 Nel cubo unitario A ... D 1 trova la distanza tra le linee AA 1 e BD 1. Risposta:

Cubo 14 Nel cubo unitario A... D 1 trova la distanza con le linee rette AB 1 e CD 1. Risposta: 1.

Cubo 15 Nel cubo unitario A… D 1 trova la distanza tra le linee AB 1 e BC 1. Soluzione. La distanza richiesta è uguale alla distanza tra i piani paralleli AB 1 D 1 e BDC 1. La diagonale A 1 C è perpendicolare a questi piani ed è divisa in tre parti uguali nei punti di intersezione. Pertanto, la distanza richiesta è uguale alla lunghezza del segmento EF ed è uguale a Risposta:

Cubo 16 Nel cubo unitario A… D 1 trova la distanza tra le linee AB 1 e A 1 C 1. La soluzione è simile alla precedente. Risposta:

Cubo 17 Nel cubo unitario A… D 1 trova la distanza tra le linee AB 1 e BD. La soluzione è simile alla precedente. Risposta:

Cubo 18 Nel cubo unitario A… D 1 trovare la distanza con le rette AB 1 e BD 1. Soluzione. La diagonale BD 1 è perpendicolare al piano del triangolo equilatero ACB 1 e lo interseca al centro P della circonferenza inscritta. La distanza desiderata è uguale al raggio OP di questo cerchio. OP = Risposta:

Piramide 1 Nell'unità tetraedro ABCD, trova la distanza tra le linee AD e BC. Soluzione. La distanza richiesta è uguale alla lunghezza del segmento EF, dove E, F sono i punti medi degli spigoli AD, GF. Nel triangolo DAG DA = 1, AG = DG = Risposta: Pertanto, EF =

Piramide 2 In una piramide regolare SABCD con tutti gli spigoli uguali a 1, trova la distanza tra le linee AB e CD. Risposta 1.

Piramide 3 In una piramide regolare SABCD con tutti gli spigoli uguali a 1, trova la distanza tra le linee SA e BD. Soluzione. La distanza desiderata è uguale all'altezza OH del triangolo SAO, dove O è il punto medio di BD. In un triangolo rettangolo SAO abbiamo: SA = 1, AO = SO = Risposta: Quindi, OH =

Piramide 4 In una piramide regolare SABCD con tutti gli spigoli uguali a 1, trova la distanza tra le linee SA e BC. Soluzione. Il piano SAD è parallelo alla linea BC. Pertanto, la distanza richiesta è uguale alla distanza tra la linea BC e il piano SAD. È uguale all'altezza EH del triangolo SEF, dove E, F sono i punti medi degli spigoli BC, AD. Nel triangolo SEF abbiamo: EF = 1, SE = SF = L'altezza di SO è uguale Quindi, EH = Risposta:

Piramide 5 Nella sesta piramide regolare SABCDEF, i cui bordi di base sono 1, trova la distanza tra le linee AB e DE. Risposta:

Piramide 6 In una sesta piramide regolare SABCDEF, i cui spigoli laterali sono 2 e gli spigoli di base sono 1, trovare la distanza tra le linee SA e BC. Soluzione: Estendere i bordi BC e AF all'intersezione nel punto G. La perpendicolare comune a SA e BC è l'altezza AH del triangolo ABG. È uguale a Risposta:

Piramide 7 In una sesta piramide regolare SABCDEF, i cui lati laterali sono 2 e gli spigoli di base sono 1, trova la distanza tra le linee SA e BF. Soluzione: La distanza desiderata è l'altezza GH del triangolo SAG, dove G è l'intersezione di BF e AD. Nel triangolo SAG abbiamo: SA = 2, AG = 0, 5, l'altezza SO è uguale Da qui troviamo GH = Risposta:

Piramide 8 In una sesta piramide regolare SABCDEF, i cui bordi laterali sono 2 e gli spigoli di base sono 1, trova la distanza tra le linee SA e CE. Soluzione: La distanza desiderata è l'altezza GH del triangolo SAG, dove G è l'intersezione di CE e AD. Nel triangolo SAG abbiamo: SA = 2, AG =, l'altezza SO è uguale Da qui troviamo GH = Risposta:

Piramide 9 In una sesta piramide regolare SABCDEF, i cui lati laterali sono 2 e gli spigoli di base sono 1, trova la distanza tra le linee SA e BD. Soluzione: la linea BD è parallela al piano SAE. La distanza desiderata è uguale alla distanza tra la retta BD e questo piano ed è uguale all'altezza PH del triangolo SPQ. In questo triangolo, l'altezza SO è, PQ = 1, SP = SQ = Quindi troviamo PH = Risposta:

Piramide 10 In una sesta piramide regolare SABCDEF, i cui spigoli laterali sono 2 e gli spigoli di base sono 1, trovare la distanza tra le linee SA e BG, dove G è il punto medio dello spigolo SC. Soluzione: tracciare una retta passante per il punto G parallela a SA. Sia Q il punto della sua intersezione con la retta AC. La distanza richiesta è uguale all'altezza QH del triangolo rettangolo ASQ, in cui AS = 2, AQ =, SQ = Quindi troviamo QH = Risposta:.

Prisma 1 In un prisma triangolare regolare ABCA 1 B 1 C 1, i cui bordi sono tutti uguali a 1, trova la distanza tra le linee: BC e B 1 C 1. Risposta: 1.

Prisma 2 In un prisma triangolare regolare ABCA 1 B 1 C 1, i cui bordi sono tutti uguali a 1, trova la distanza tra le rette: AA 1 e BC. Risposta:

Prisma 3 In un prisma triangolare regolare ABCA 1 B 1 C 1, i cui bordi sono tutti uguali a 1, trova la distanza tra le rette: AA 1 e BC 1. Risposta:

Prisma 4 In un prisma triangolare regolare ABCA 1 B 1 C 1, i cui bordi sono tutti uguali a 1, trova la distanza tra le rette: AB e A 1 C 1. Risposta: 1.

Prisma 5 In un prisma triangolare regolare ABCA 1 B 1 C 1, i cui bordi sono tutti uguali a 1, trovare la distanza tra le rette: AB e A 1 C. Soluzione: La distanza richiesta è uguale alla distanza tra le rette linea AB e il piano A 1 B 1 C. Indichiamo D e D 1 i punti medi dei bordi AB e A 1 B 1. Nel triangolo rettangolo CDD 1 dal vertice D disegniamo l'altezza DE. Sarà la distanza desiderata. Abbiamo, DD 1 = 1, CD = Risposta: Pertanto, DE =, CD 1 =.

Prisma 6 In un prisma triangolare regolare ABCA 1 B 1 C 1, i cui bordi sono tutti uguali a 1, trovare la distanza tra le rette: AB 1 e BC 1. Soluzione: Aggiungiamo il prisma a un prisma a 4 angoli. La distanza richiesta sarà uguale alla distanza tra i piani paralleli AB 1 D 1 e BDC 1. È uguale all'altezza OH del triangolo rettangolo AOO 1, in cui si trova la risposta. Questa altezza è

Prisma 7 Nel sesto prisma corretto A ... F 1, i cui bordi sono uguali a 1, trova la distanza tra le linee rette: AB e A 1 B 1. Risposta: 1.

Prisma 8 Nel sesto prisma corretto A ... F 1, i cui bordi sono uguali a 1, trova la distanza tra le linee rette: AB e B 1 C 1. Risposta: 1.

Prisma 9 Nel sesto prisma corretto A ... F 1, i cui bordi sono uguali a 1, trova la distanza tra le linee rette: AB e C 1 D 1. Risposta: 1.

Prisma 10 Nel sesto prisma corretto A ... F 1, i cui bordi sono uguali a 1, trova la distanza tra le linee rette: AB e DE. Risposta: .

Prisma 11 Nel sesto prisma corretto A... F 1, i cui bordi sono uguali a 1, trova la distanza tra le linee: AB e D 1 E 1. Risposta: 2.

12 prisma Nel sesto prisma corretto A ... F 1, i cui bordi sono uguali a 1, trova la distanza tra le linee rette: AA 1 e CC 1. Risposta:.

Prisma 13 Nel sesto prisma corretto A ... F 1, i cui bordi sono uguali a 1, trova la distanza tra le linee rette: AA 1 e DD 1. Risposta: 2.

Prisma 14 Nel sesto prisma corretto A ... F 1, i cui bordi sono 1, trovare la distanza tra le rette: AA 1 e B 1 C 1. Soluzione: estendere i lati B 1 C 1 e A 1 F 1 finché non si intersecano nel punto G. Il triangolo A 1 B 1 G è equilatero. La sua altezza A 1 H è la perpendicolare comune desiderata. La sua lunghezza è uguale. Risposta: .

Prisma 15 Nel sesto prisma corretto A ... F 1, i cui bordi sono uguali a 1, trovare la distanza tra le rette: AA 1 e C 1 D 1. Soluzione: La perpendicolare comune desiderata è il segmento A 1 C 1. La sua lunghezza è. Risposta: .

Prisma 16 Nel sesto prisma corretto A ... F 1, i cui bordi sono uguali a 1, trovare la distanza tra le rette: AA 1 e BC 1. Soluzione: La distanza richiesta è la distanza tra i piani paralleli ADD 1 e BCC 1. È uguale a. Risposta: .

Prisma 17 Nel sesto prisma corretto A… F 1, i cui bordi sono uguali a 1, trovare la distanza tra le rette: AA 1 e CD 1. Soluzione: La perpendicolare comune desiderata è il segmento AC. La sua lunghezza è uguale. Risposta: .

Prisma 18 Nel sesto prisma corretto A... F 1, i cui bordi sono uguali a 1, trovare la distanza tra le rette: AA 1 e DE 1. Soluzione: La perpendicolare comune desiderata è il segmento A 1 E 1. La sua la lunghezza è. Risposta: .

Prisma 19 Nel sesto prisma corretto A... F 1, i cui bordi sono uguali a 1, trovare la distanza tra le rette: AA 1 e BD 1. Soluzione: La perpendicolare comune desiderata è il segmento AB. La sua lunghezza è 1. Risposta: 1.

Prisma 20 Nel sesto prisma corretto A ... F 1, i cui bordi sono uguali a 1, trovare la distanza tra le rette: AA 1 e CE 1. Soluzione: La distanza richiesta è la distanza tra la retta AA 1 e l'aereo CEE 1. È uguale. Risposta: .

Prisma 21 Nel sesto prisma corretto A ... F 1, i cui bordi sono uguali a 1, trovare la distanza tra le rette: AA 1 e BE 1. Soluzione: La distanza richiesta è la distanza tra la retta AA 1 e il piano BEE 1. È uguale a. Risposta: .

Prisma 22 Nel sesto prisma corretto A ... F 1, i cui bordi sono uguali a 1, trovare la distanza tra le rette: AA 1 e CF 1. Soluzione: La distanza richiesta è la distanza tra la retta AA 1 e il piano CFF 1. È uguale a. Risposta: .

Prisma 23 Nel sesto prisma corretto A ... F 1, i cui bordi sono uguali a 1, trovare l'angolo tra le rette: AB 1 e DE 1. Soluzione: La distanza richiesta è la distanza tra i piani paralleli ABB 1 e DEE 1. La distanza tra loro è uguale. Risposta: .

Prisma 24 Nel sesto prisma corretto A ... F 1, i cui bordi sono uguali a 1, trovare l'angolo tra le rette: AB 1 e CF 1. Soluzione: La distanza richiesta è la distanza tra la retta AB 1 e il piano CFF 1. È uguale a. Risposta:

Prisma 25 Nel sesto prisma corretto A... F 1, i cui bordi sono uguali a 1, trovare la distanza tra le rette: AB 1 e BC 1. Soluzione: Siano O, O 1 i centri delle facce del prisma. I piani AB 1 O 1 e BC 1 O sono paralleli. Il piano ACC 1 A 1 è perpendicolare a questi piani. La distanza richiesta d è uguale alla distanza tra le rette AG 1 e GC 1. Nel parallelogramma AGC 1 G 1 abbiamo AG = Risposta:; AG 1 = L'altezza disegnata sul lato AA 1 è 1. Quindi d =. ...

Prisma 26 Nel sesto prisma corretto A ... F 1, i cui bordi sono uguali a 1, trovare la distanza tra le rette: AB 1 e BD 1. Soluzione: Considerare il piano A 1 B 1 HG perpendicolare a BD 1. La proiezione ortogonale su questo piano porta la retta BD 1 al punto H e la retta AB 1 alla retta GB 1. Pertanto, la distanza richiesta d è uguale alla distanza dal punto H alla retta GB 1. In un diritto- triangolo angolato GHB 1 abbiamo GH = 1; Risposta: B 1 H =. Pertanto, d =.

Prisma 27 Nel sesto prisma corretto A ... F 1, i cui bordi sono uguali a 1, trovare la distanza tra le rette: AB 1 e BE 1. Soluzione: Considerare il piano A 1 BDE 1, perpendicolare ad AB 1. La proiezione ortogonale su questo piano trasferisce la linea AB 1 al punto G e la linea BE 1 viene lasciata sul posto. Pertanto, la distanza d richiesta è uguale alla distanza GH dal punto G alla retta BE 1. In un triangolo rettangolo A 1 BE 1 abbiamo A 1 B =; LA 1 MI 1 =. Risposta: Pertanto, d =.

"Distanza tra le linee di attraversamento" - Teorema. Compiti orali preparatori. Trova la distanza tra la linea MN e il piano AA1D1D. Trova la distanza tra la linea B1K e il piano DD1C1C. OK = OO1? OM / O1M = a/3 (secondo il teorema di Pitagora, O1M = 3/2? 2, OM = 1/2? 2). Il piano diagonale AA1C1C è perpendicolare alla linea BD. Le nuove posizioni dei punti B e N saranno i punti delle linee AD e BM più vicini tra loro.

"Lezione Velocità tempo distanza" - Riscaldamento matematico. Lo scopo della lezione: insegnare agli studenti a risolvere problemi di movimento. Distanza. Quanto tempo ci vuole per percorrere 30 km a una velocità costante di 5 km/h? Il rapporto tra velocità, tempo e distanza. Quante persone sono andate in città? L'aereo percorre la distanza dalla città A alla città B in 1 ora e 20 minuti.

"Matematico velocità tempo distanza" - Riduci la somma dei numeri 5 e 65 di 2 volte. Non so è andato sulla luna. Viaggia attraverso le pagine di un libro di favole. Educazione fisica. Uno è uscito alle 8 e l'altro alle 10. Riassumendo. Laura ha ragione? -Laura ha risolto il problema: “500 km. l'auto passerà tra 10 ore. Tempo. La chiave con la risposta "38" apre il libro:

"Dialogo discorso diretto" - Qual è la differenza tra discorso diretto e dialogo? Ad esempio: L. N. Tolstoj ha detto: "Abbiamo tutti bisogno l'uno dell'altro nel mondo". Grafica vocale diretta. R: "p." Compito 3. Sostituisci il discorso diretto con il dialogo. Ad esempio: "P?" - un. "NS!" - un. Indicare i diagrammi corretti per le seguenti frasi. Grafica del dialogo. Come scrivere il discorso diretto e il dialogo per iscritto?

"Frasi con discorso diretto" - Petronio, antico scrittore romano. Gioco "Trova l'errore" (controlla). Le parole dell'autore, introducendo il discorso diretto: Mi sono girato e sono andato alla casa di padre Gerasim. Un amico del villaggio è venuto a trovarmi. Frasi vocali dirette. Compito creativo. Nella scrittura, il discorso diretto è racchiuso tra virgolette. Leggi! " - esclamò Konstantin Georgievich Paustovsky.

"Distanza e scala" - Modello dell'atomo ad alto ingrandimento. Su una mappa con una scala, la distanza è di 5 cm Se la scala è data da una frazione con numeratore 1, allora. Modello in scala ridotta di un'autopompa antincendio. Algoritmo per trovare la distanza a terra: Lungo l'autostrada la lunghezza del percorso è di 700 km. Termina la frase: la distanza tra due città è di 400 km.

In questo articolo, utilizzando l'esempio di risoluzione del problema C2 dall'esame, viene analizzato il metodo di ricerca utilizzando il metodo delle coordinate. Ricorda che le rette si intersecano se non giacciono sullo stesso piano. In particolare, se una retta giace in un piano e la seconda retta interseca questo piano in un punto che non giace sulla prima retta, allora tali rette si intersecano (vedi figura).

Trovare distanza tra le linee di attraversamento necessario:

Disegna un piano attraverso una delle rette intersecanti, che è parallela all'altra retta intersecante.
Lascia cadere la perpendicolare da qualsiasi punto della seconda retta al piano risultante. La lunghezza di questa perpendicolare sarà la distanza desiderata tra le rette.

Analizziamo questo algoritmo in modo più dettagliato usando l'esempio di risoluzione del problema C2 dall'esame di matematica.

Distanza tra le linee nello spazio

Compito. In un cubo unitario ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 trovare la distanza tra le linee BA 1 e DB 1 .

Riso. 1. Disegnare per il compito

Soluzione. Attraverso il centro della diagonale del cubo DB 1 (punto oh) traccia una retta parallela alla retta UN 1 B... Punti di intersezione di questa linea con i bordi AVANTI CRISTO e UN 1 D 1 denota, rispettivamente n e m... Dritto MN giace nell'aereo MNB 1 e parallela alla retta UN 1 B che non giace in questo piano. Ciò significa che il dritto UN 1 B parallela al piano MNB 1 in base al parallelismo di una retta e di un piano (Fig. 2).

Riso. 2. La distanza richiesta tra le linee che si incrociano è uguale alla distanza da qualsiasi punto della linea selezionata al piano raffigurato

Cerchiamo ora la distanza da un punto della retta UN 1 B corsia principale MNB 1 . Questa distanza, per definizione, sarà la distanza desiderata tra le linee incrociate.

Per trovare questa distanza, useremo il metodo delle coordinate. Introduciamo un sistema di coordinate cartesiane rettangolari in modo che la sua origine coincida con il punto B, l'asse X era diretto lungo la costola BA, asse sì- lungo il bordo AVANTI CRISTO, asse Z- lungo il bordo BB 1 (fig. 3).

Riso. 3. Scegliamo il sistema di coordinate cartesiane rettangolari come mostrato in figura

Trova l'equazione del piano MNB 1 nel dato sistema di coordinate. Per fare ciò, determinare prima le coordinate dei punti m, n e B 1: Le coordinate ottenute vengono sostituite nell'equazione generale della retta e si ottiene il seguente sistema di equazioni:

Dalla seconda equazione del sistema, otteniamo dalla terza, e quindi dalla prima otteniamo Sostituisci i valori ottenuti nell'equazione generale della retta:

Nota che altrimenti l'aereo MNB 1 passerebbe per l'origine. Dividiamo entrambi i membri di questa equazione per e otteniamo:

La distanza da un punto a un piano è determinata dalla formula.