Il teorema di Vieta è spesso usato per controllare le radici già trovate. Se trovi le radici, puoi usare le formule \ (\ inizio (casi) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ fine (casi) \) per calcolare i valori \ (p \) e \ (q \ ). E se risultano essere le stesse dell'equazione originale, le radici sono state trovate correttamente.
Ad esempio, risolviamo, usando, l'equazione \ (x ^ 2 + x-56 = 0 \) e otteniamo le radici: \ (x_1 = 7 \), \ (x_2 = -8 \). Controlliamo se abbiamo commesso un errore nel processo di soluzione. Nel nostro caso, \ (p = 1 \) e \ (q = -56 \). Per il teorema di Vieta si ha:
\ (\ inizio (casi) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ fine (casi) \) \ (\ freccia sinistra-destra \) \ (\ inizio (casi) 7 + (- 8) = - 1 \\ 7 \ cdot (-8) = - 56 \ end (casi) \) \ (\ Leftrightarrow \) \ (\ inizio (casi) -1 = -1 \\ - 56 = -56 \ fine (casi) \ )
Entrambe le affermazioni concordano, il che significa che abbiamo risolto correttamente l'equazione.
Questo controllo può essere fatto per via orale. Ci vorranno 5 secondi e ti salveranno da errori stupidi.
Teorema inverso di Vieta
Se \ (\ begin (cases) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ end (cases) \), allora \ (x_1 \) e \ (x_2 \) sono le radici dell'equazione quadratica \ (x ^ 2 + px + q = 0 \).
O in termini più semplici: se hai un'equazione della forma \ (x ^ 2 + px + q = 0 \), quindi risolvendo il sistema \ (\ begin (cases) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ end (cases) \) troverai le sue radici.
Grazie a questo teorema, puoi trovare rapidamente le radici dell'equazione quadratica, specialmente se queste radici lo sono. Questa abilità è importante in quanto consente di risparmiare molto tempo.
Esempio ... Risolvi l'equazione \ (x ^ 2-5x + 6 = 0 \).
Soluzione
: Usando il teorema inverso di Vieta, troviamo che le radici soddisfano le condizioni: \ (\ begin (casi) x_1 + x_2 = 5 \\ x_1 \ cdot x_2 = 6 \ end (casi) \).
Guarda la seconda equazione del sistema \ (x_1 \ cdot x_2 = 6 \). In quali due si può scomporre il numero \ (6 \)? Su \ (2 \) e \ (3 \), \ (6 \) e \ (1 \) o \ (- 2 \) e \ (- 3 \), e \ (- 6 \) e \ (- 1\). La prima equazione del sistema ti dirà quale coppia scegliere: \ (x_1 + x_2 = 5 \). \\ (2 \\) e \\ (3 \\) sono simili, poiché \\ (2 + 3 \ u003d 5 \\).
Risposta
: \ (x_1 = 2 \), \ (x_2 = 3 \).
Esempi di
... Usando il teorema inverso al teorema di Vieta, trova le radici dell'equazione quadratica:
a) \ (x ^ 2-15x + 14 = 0 \); b) \ (x ^ 2 + 3x-4 = 0 \); c) \ (x ^ 2 + 9x + 20 = 0 \); d) \ (x ^ 2-88x + 780 = 0 \).
Soluzione
:
a) \ (x ^ 2-15x + 14 = 0 \) - in quali fattori si decompone \ (14 \)? \ (2 \) e \ (7 \), \ (- 2 \) e \ (- 7 \), \ (- 1 \) e \ (- 14 \), \ (1 \) e \ (14 \ ). Quali coppie di numeri si sommano a \ (15 \)? Risposta: \ (1 \) e \ (14 \).
b) \ (x ^ 2 + 3x-4 \ u003d 0 \) - in quali fattori si decompone \ (- 4 \)? \ (- 2 \) e \ (2 \), \ (4 \) e \ (- 1 \), \ (1 \) e \ (- 4 \). Quali coppie di numeri si sommano a \ (- 3 \)? Risposta: \ (1 \) e \ (- 4 \).
c) \ (x ^ 2 + 9x + 20 = 0 \) - in quali fattori si decompone \ (20 \)? \ (4 \) e \ (5 \), \ (- 4 \) e \ (- 5 \), \ (2 \) e \ (10 \), \ (- 2 \) e \ (- 10 \ ), \ (- 20 \) e \ (- 1 \), \ (20 \) e \ (1 \). Quali coppie di numeri si sommano a \ (- 9 \)? Risposta: \ (- 4 \) e \ (- 5 \).
d) \ (x ^ 2-88x + 780 = 0 \) - in quali fattori si decompone \ (780 \)? \ (390 \) e \ (2 \). Totaleranno \ (88 \)? No. Quali altri fattori ha \ (780 \)? \ (78 \) e \ (10 \). Totaleranno \ (88 \)? Sì. Risposta: \ (78 \) e \ (10 \).
Non è necessario scomporre l'ultimo termine in tutti i possibili fattori (come nell'ultimo esempio). Puoi verificare immediatamente se la loro somma dà \ (- p \).
Importante! Il teorema di Vieta e il teorema inverso funzionano solo con, cioè, in modo tale che il coefficiente davanti a \ (x ^ 2 \) sia uguale a uno. Se inizialmente abbiamo un'equazione non ridotta, possiamo renderla ridotta semplicemente dividendo per il coefficiente davanti a \ (x ^ 2 \).
Per esempio, sia data l'equazione \ (2x ^ 2-4x-6 = 0 \) e vogliamo usare uno dei teoremi di Vieta. Ma non possiamo, poiché il coefficiente davanti a \ (x ^ 2 \) è \ (2 \). Eliminiamolo dividendo l'intera equazione per \ (2 \).
\ (2x ^ 2-4x-6 = 0 \) \ (|: 2 \)
\ (x ^ 2-2x-3 = 0 \)
Pronto. Ora puoi usare entrambi i teoremi.
Risposte alle domande più frequenti
Domanda:
Per il teorema di Vieta, puoi risolverne qualcuno?
Risposta:
Sfortunatamente no. Se l'equazione non è intera o l'equazione non ha radici, il teorema di Vieta non sarà d'aiuto. In questo caso, è necessario utilizzare discriminante
... Fortunatamente, l'80% delle equazioni nella matematica delle scuole superiori ha soluzioni intere.
I. Teorema di Vieta per l'equazione quadratica ridotta.
La somma delle radici dell'equazione quadratica ridotta x2 + px + q = 0è uguale al secondo coefficiente, preso con segno opposto, e il prodotto delle radici è uguale al termine libero:
x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙ x 2 = q.
Trova le radici dell'equazione quadratica ridotta usando il teorema di Vieta.
Esempio 1) x 2 -x-30 = 0. Questa è l'equazione quadratica ridotta ( x2 + px + q = 0), il secondo coefficiente p = -1 e il termine libero q = -30. Innanzitutto, assicurati che l'equazione data abbia radici e che le radici (se presenti) siano espresse in numeri interi. Per questo è sufficiente che il discriminante sia il quadrato perfetto di un intero.
Trova il discriminante D= b 2 - 4ac = (- 1) 2 -4 ∙ 1 ∙ (-30) = 1 + 120 = 121 = 11 2 .
Ora, secondo il teorema di Vieta, la somma delle radici dovrebbe essere uguale al secondo coefficiente preso con segno opposto, cioè ( -P), e il prodotto è uguale al termine libero, cioè ( Q). Quindi:
x1 + x2 = 1; x 1 ∙ x 2 = -30. Dobbiamo scegliere due numeri in modo che il loro prodotto sia uguale -30 , e la somma è unità... Questi sono numeri -5 e 6 . Risposta: -5; 6.
Esempio 2) x 2 + 6 x + 8 = 0. Abbiamo l'equazione quadratica ridotta con il secondo coefficiente p = 6 e un membro gratuito q = 8... Assicuriamoci che ci siano radici intere. Trova il discriminante RE 1 RE 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 ... Il discriminante D 1 è il quadrato perfetto del numero 1 , il che significa che le radici di questa equazione sono numeri interi. Scegliamo le radici secondo il teorema di Vieta: la somma delle radici è uguale a –P = -6, e il prodotto delle radici è q = 8... Questi sono numeri -4 e -2 .
Infatti: -4-2 = -6 = -p; -4 ∙ (-2) = 8 = q. Risposta: -4; -2.
Esempio 3) x 2 + 2x-4 = 0... In questa equazione quadratica ridotta, il secondo coefficiente p = 2 e il termine libero q = -4... Trova il discriminante RE 1 poiché il secondo coefficiente è un numero pari. RE 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Il discriminante non è un quadrato perfetto del numero, quindi lo facciamo produzione: le radici di questa equazione non sono intere e non possono essere trovate dal teorema di Vieta. Ciò significa che risolveremo questa equazione, come al solito, usando le formule (in questo caso, usando le formule). Noi abbiamo:
Esempio 4). Crea un'equazione quadratica per le sue radici se x 1 = -7, x 2 = 4.
Soluzione. L'equazione richiesta sarà scritta nella forma: x2 + px + q = 0, e, in base al teorema di Vieta –P = x 1 + x 2=-7+4=-3 → p = 3; q = x 1 ∙ x 2=-7∙4=-28 ... Quindi l'equazione assumerà la forma: x2 + 3x-28 = 0.
Esempio 5). Crea un'equazione quadratica per le sue radici se:
II. Teorema di Vieta per l'equazione quadratica completa ax2 + bx + c = 0.
La somma delle radici è meno B diviso per un, il prodotto delle radici è insieme a diviso per un:
x 1 + x 2 = -b / a; x 1 ∙ x 2 = c / a.
Esempio 6). Trova la somma delle radici di un'equazione di secondo grado 2x 2 -7x-11 = 0.
Teorema di Vieta
Sia e denota le radici dell'equazione quadratica ridotta
(1)
.
Quindi la somma delle radici è uguale al coefficiente a, preso con il segno opposto. Il prodotto delle radici è uguale al termine libero:
;
.
Una nota su più radici
Se il discriminante dell'equazione (1) è uguale a zero, allora questa equazione ha una radice. Ma per evitare formulazioni ingombranti, è generalmente accettato che in questo caso l'equazione (1) abbia due radici multiple o uguali:
.
prova uno
Troviamo le radici dell'equazione (1). Per fare ciò, applica la formula per le radici dell'equazione quadratica:
;
;
.
Troviamo la somma delle radici:
.
Per trovare un lavoro, applica la formula:
.
Quindi
.
Il teorema è dimostrato.
Prova del secondo
Se i numeri e sono le radici dell'equazione quadratica (1), allora
.
Espandiamo le parentesi.
.
Pertanto, l'equazione (1) assumerà la forma:
.
Confrontando con (1) troviamo:
;
.
Il teorema è dimostrato.
Teorema inverso di Vieta
Lascia che ci siano numeri arbitrari. Allora e sono le radici dell'equazione quadratica
,
dove
(2)
;
(3)
.
Dimostrazione del teorema inverso di Vieta
Considera l'equazione quadratica
(1)
.
Dobbiamo dimostrare che se e, allora u sono le radici dell'equazione (1).
Sostituire (2) e (3) in (1):
.
Raggruppiamo i termini sul lato sinistro dell'equazione:
;
;
(4)
.
Sostituisci in (4):
;
.
Sostituisci in (4):
;
.
L'equazione è soddisfatta. Cioè, il numero è la radice dell'equazione (1).
Il teorema è dimostrato.
Teorema di Vieta per un'equazione quadratica completa
Consideriamo ora l'equazione quadratica completa
(5)
,
dove, e ci sono alcuni numeri. Inoltre.
Dividiamo l'equazione (5) per:
.
Cioè, abbiamo ottenuto l'equazione ridotta
,
dove ; ...
Allora il teorema di Vieta per l'equazione quadratica completa ha la forma seguente.
Lascia e denota le radici dell'equazione quadratica completa
.
Quindi la somma e il prodotto delle radici sono determinati dalle formule:
;
.
Teorema di Vieta per l'equazione cubica
In modo simile, possiamo stabilire connessioni tra le radici di un'equazione cubica. Considera l'equazione cubica
(6)
,
dove,,, sono alcuni numeri. Inoltre.
Dividiamo questa equazione in:
(7)
,
dove , , .
Sia ,, le radici dell'equazione (7) (e dell'equazione (6)). Quindi
.
Confrontando con l'equazione (7) troviamo:
;
;
.
Teorema di Vieta per un'equazione di n-esimo grado
Allo stesso modo, puoi trovare connessioni tra le radici,, ...,, per un'equazione di grado n-esimo
.
Il teorema di Vieta per un'equazione di grado n-esimo ha la seguente forma:
;
;
;
.
Per ottenere queste formule, scriviamo l'equazione nella forma seguente:
.
Quindi eguagliamo i coefficienti a,,, ... e confrontiamo il termine libero.
Riferimenti:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manuale di matematica per ingegneri e studenti di istituti tecnici, "Lan", 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov et al., Algebra: un libro di testo per le istituzioni educative di grado 8, Mosca, Istruzione, 2006.
Tre numeri 12x, x 2-5 e 4 in questo ordine formano una progressione aritmetica crescente https://youtu.be/U0VO_N9udpI Scegli l'affermazione corretta http://pin.it/9w-GqGp Trova tutte le x, yez tali che i numeri 5x + 3, y2 e 3z + 5 formino una progressione aritmetica in quell'ordine. Trova x e indica la differenza di questa progressione. Risolvere il sistema di equazioni Matematica USE. Videolezioni. Divisibilità degli interi. Funzione lineare. Problemi di divisibilità. Teorema di Vieta, teorema di converse, formule di Vieta. intelligente #studenti #equazioni #vietas_theorem #teorema Consideriamo poi un teorema opposto al teorema di Vieta. Successivamente, analizzeremo le soluzioni degli esempi più tipici. Questo dimostra la prima relazione del teorema di Vieta per la somma delle radici di un'equazione quadratica. Passiamo al secondo. Come dimostrare il teorema inverso al teorema di Vieta? DOK-VO: x2 + px + f = 0 x2- (M + H) * x + M * H = 0 x2-Mx-Hx + M * H = 0 x (x-H) -M (x-H) = 0 (xM ) (xH) = 0 xM = 0 xH = 0 x = M x = H CHTD. È così che abbiamo dimostrato in una classe specializzata con un pregiudizio matematico. Risposte: aiuta a capire il teorema inverso al teorema di Vieta grazie per esempi specifici Il teorema inverso al teorema di Vieta aiuta a risolvere: Se il coefficiente a è un numero da cui è facile estrarre la radice quadrata di un intero razionale, allora la somma di x1 e x2 sarà uguale a un numero Dimostrare il teorema inverso Vieta - vedere come lamentarsi della dimostrazione del teorema Vieta. Formulare e dimostrare il teorema di Vieta, così come il teorema inverso, applicare teoremi per risolvere equazioni e problemi. Dimostrare il teorema inverso al teorema di Vieta. Esame di Stato Unificato in Matematica per 100 punti: segreti di cui gli insegnanti di scuola non parlano, problemi derivati. Molti candidati pensano che non sia necessario prepararsi per i primi quattordici problemi, visto che sono molto facili, ma non è così! La maggior parte degli esaminatori commette gli errori aritmetici più semplici, mettendo così in ombra l'eccellente soluzione dei problemi della parte C. Tali situazioni sono molto comuni, quindi, non dovresti trascurare la preparazione per i primi problemi, ma prepararti come nell'allenamento sportivo: se fanno domanda per 90-100 punti - allenati per risolvere il primo blocco in 20-25 minuti, se 70-80 punti - circa 30 minuti, non di più. Un ottimo modo di allenarsi è una decisione in compagnia di un tutor, in corsi in cui verranno poste determinate condizioni: ad esempio, si decide prima del primo errore, dopo aver consegnato il lavoro; un'altra opzione: per ogni errore doni denaro al cassiere generale. Non importa quanto possa sembrare strano, sconsigliamo il sito ufficiale, poiché tutti i test sono così confusi che è impossibile utilizzarlo. La progettazione dei compiti della parte C è importante. Se la decisione viene presa in modo impreciso, il corso per risolvere l'attività sarà incomprensibile e, pertanto, l'esaminatore prenderà sicuramente in considerazione questo e abbasserà il tuo punteggio. Sembrerebbe che abbiamo parlato di cose molto semplici, ma seguendo i nostri consigli, ti assicurerai un esame di successo! I link segreti, descritti nella Master class, li trovi qui - si tratta di link a Videocorsi per la preparazione all'esame. Questo risultato è chiamato teorema di Vieta. Per un trinomio quadratico ridotto 2 x px q, il teorema di Vieta si presenta così: se ci sono radici, allora vale anche il teorema opposto al teorema di Vieta: se i numeri soddisfano le condizioni, allora questi numeri sono le radici dell'equazione. La dimostrazione di questo teorema è una delle domande di controllo dell'Assegnazione. A volte, per brevità, entrambi i teoremi di Vieta (diretto e inverso) sono chiamati semplicemente teorema di Vieta.
L'essenza di questa tecnica è trovare radici senza l'aiuto di un discriminante. Per un'equazione della forma x2 + bx + c = 0, dove ci sono due radici reali differenti, due affermazioni sono vere.La prima affermazione dice che la somma delle radici di questa equazione è uguale al valore del coefficiente alla variabile x (in questo caso è b), ma con il segno opposto. Sembra così: x1 + x2 = -b.
La seconda affermazione non è più collegata alla somma, ma al prodotto delle stesse due radici. Questo prodotto è equiparato al coefficiente libero, cioè C. Oppure, x1 * x2 = c. Entrambi questi esempi sono risolti nel sistema.
Il teorema di Vieta semplifica enormemente la soluzione, ma ha un limite. Un'equazione quadratica, le cui radici possono essere trovate usando questa tecnica, deve essere ridotta. Nella precedente equazione del coefficiente a, quello davanti a x2 è uguale a uno. Qualsiasi equazione può essere ridotta a una forma simile dividendo l'espressione per il primo coefficiente, ma questa operazione non è sempre razionale.
Dimostrazione del teorema
Per cominciare, dovresti ricordare come tradizionalmente è consuetudine cercare le radici di un'equazione quadratica. Si trovano la prima e la seconda radice, ovvero: x1 = (-b-√D) / 2, x2 = (-b + √D) / 2. Generalmente divisibile per 2a, ma, come già accennato, il teorema può essere applicato solo quando a = 1.È noto dal teorema di Vieta che la somma delle radici è uguale al secondo coefficiente con il segno meno. Ciò significa che x1 + x2 = (-b-√D) / 2 + (-b + √D) / 2 = −2b / 2 = −b.
Lo stesso vale per il prodotto di radici incognite: x1 * x2 = (-b-√D) / 2 * (-b + √D) / 2 = (b2-D) / 4. A sua volta, D = b2-4c (sempre con a = 1). Si scopre che il risultato è il seguente: x1 * x2 = (b2- b2) / 4 + c = c.
Dalla semplice dimostrazione di cui sopra si può trarre una sola conclusione: il teorema di Vieta è pienamente confermato.
Seconda formulazione e dimostrazione
Il teorema di Vieta ha un'altra interpretazione. Più precisamente, non è un'interpretazione, ma una formulazione. Il fatto è che se sono soddisfatte le stesse condizioni del primo caso: ci sono due radici reali diverse, allora il teorema può essere scritto in una formula diversa.Questa uguaglianza si presenta così: x2 + bx + c = (x - x1) (x - x2). Se la funzione P (x) interseca due punti x1 e x2, allora può essere scritta come P (x) = (x - x1) (x - x2) * R (x). Nel caso in cui P abbia il secondo grado, e questo è esattamente l'aspetto dell'espressione originale, allora R è un numero primo, cioè 1. Questa affermazione è vera perché altrimenti l'uguaglianza non vale. Il fattore x2 quando si espandono le parentesi non deve superare uno e l'espressione deve rimanere quadrata.
