इस मामले में स्लो का एक अनूठा समाधान है। रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का सामान्य और विशेष समाधान कैसे खोजें

हम रैखिक समीकरणों की प्रणालियों से निपटना जारी रखते हैं। अब तक, हमने उन प्रणालियों को देखा है जिनका एक ही समाधान है। ऐसी प्रणालियों को किसी भी तरह से हल किया जा सकता है: प्रतिस्थापन विधि("विद्यालय"), क्रैमर के सूत्रों द्वारा, मैट्रिक्स विधि, गाऊसी विधि... हालाँकि, व्यवहार में, दो और मामले व्यापक हैं जब:

1) प्रणाली असंगत है (कोई समाधान नहीं है);

2) प्रणाली के असीम रूप से कई समाधान हैं।

इन प्रणालियों के लिए, सभी समाधान विधियों में सबसे सार्वभौमिक उपयोग किया जाता है - गॉस विधि... वास्तव में, "स्कूल" विधि उत्तर की ओर ले जाएगी, लेकिन उच्च गणित में अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की गाऊसी पद्धति का उपयोग करने की प्रथा है। जो लोग गाऊसी विधि एल्गोरिथ्म से परिचित नहीं हैं, कृपया पहले पाठ का अध्ययन करें गॉस विधि

प्राथमिक मैट्रिक्स परिवर्तन स्वयं बिल्कुल समान हैं, अंतर समाधान के अंत में होगा। आइए पहले कुछ उदाहरणों पर विचार करें जब सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है (असंगत)।

उदाहरण 1

इस प्रणाली में क्या तुरंत नज़र आता है? समीकरणों की संख्या चरों की संख्या से कम होती है। एक प्रमेय है जो कहता है: "यदि सिस्टम में समीकरणों की संख्या चर की संख्या से कम है, तब प्रणाली या तो असंगत है या उसके पास असीम रूप से कई समाधान हैं।"और यह पता लगाना ही बाकी है।

समाधान की शुरुआत पूरी तरह से सामान्य है - हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखते हैं और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे चरणबद्ध रूप में लाते हैं:

(1). ऊपरी बाएँ चरण पर, हमें (+1) या (-1) प्राप्त करने की आवश्यकता है। पहले कॉलम में ऐसी कोई संख्या नहीं है, इसलिए पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करने से कुछ नहीं होगा। इकाई को स्वतंत्र रूप से संगठित करना होगा, और यह कई तरीकों से किया जा सकता है। हमने यह किया। पहली पंक्ति में तीसरी पंक्ति को (-1) से गुणा करके जोड़ें।

(2). अब हमें पहले कॉलम में दो शून्य मिलते हैं। दूसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को 3 से गुणा करते हैं। तीसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को 5 से गुणा करते हैं।

(3). प्रदर्शन किए गए परिवर्तन के बाद, हमेशा देखने की सलाह दी जाती है, और क्या परिणामी रेखाओं को सरल बनाना संभव है? कर सकना। दूसरी पंक्ति को 2 से विभाजित करें, उसी समय दूसरे चरण पर वांछित (-1) प्राप्त करें। तीसरी पंक्ति को (-3) से विभाजित करें।

(4). दूसरी पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ें। संभवतः सभी ने उस खराब रेखा पर ध्यान दिया जो प्राथमिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप निकली:

... स्पष्ट है कि ऐसा नहीं हो सकता।

दरअसल, हम परिणामी मैट्रिक्स को फिर से लिखते हैं

रैखिक समीकरणों की प्रणाली पर वापस:

यदि, प्राथमिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, प्रपत्र की एक स्ट्रिंग , कहांλ - शून्य के अलावा कोई अन्य संख्या, तो सिस्टम असंगत है (इसका कोई समाधान नहीं है)।

मैं किसी असाइनमेंट के अंत को कैसे रिकॉर्ड करूं? आपको वाक्यांश लिखना होगा:

"प्राथमिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, प्रपत्र की एक स्ट्रिंग प्राप्त की गई थी, जहां λ ≠ 0 ". उत्तर: "सिस्टम का कोई समाधान नहीं है (असंगत)।"

कृपया ध्यान दें कि इस मामले में गॉसियन एल्गोरिदम का कोई बैकट्रैकिंग नहीं है, कोई समाधान नहीं है और खोजने के लिए कुछ भी नहीं है।

उदाहरण 2

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

यह स्वयं करें समाधान के लिए एक उदाहरण है। ट्यूटोरियल के अंत में पूरा समाधान और उत्तर दें।

फिर से, हम आपको याद दिलाते हैं कि आपका निर्णय पाठ्यक्रम हमारे निर्णय पाठ्यक्रम से भिन्न हो सकता है, गॉस विधि एक स्पष्ट एल्गोरिथम निर्दिष्ट नहीं करती है, आपको प्रत्येक मामले में कार्यों के क्रम और कार्यों के बारे में स्वतंत्र रूप से अनुमान लगाना होगा।

समाधान की एक और तकनीकी विशेषता: प्राथमिक परिवर्तनों को रोका जा सकता है तुरंत, जैसे ही फॉर्म की एक लाइन दिखाई दी, जहां λ ≠ 0 ... एक सशर्त उदाहरण पर विचार करें: मान लीजिए कि पहले परिवर्तन के बाद मैट्रिक्स प्राप्त होता है

.

यह मैट्रिक्स अभी तक एक चरणबद्ध रूप में कम नहीं हुआ है, लेकिन आगे के प्रारंभिक परिवर्तनों की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि फॉर्म की एक पंक्ति दिखाई दी है, जहां λ ≠ 0 ... आपको तुरंत जवाब देना चाहिए कि सिस्टम असंगत है।

जब रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का कोई समाधान नहीं होता है, तो यह छात्र के लिए लगभग एक उपहार है, क्योंकि एक संक्षिप्त समाधान प्राप्त होता है, कभी-कभी शाब्दिक रूप से 2-3 चरणों में। लेकिन इस दुनिया में सब कुछ संतुलित है, और जिस समस्या में सिस्टम के पास असीम रूप से कई समाधान हैं, वह अभी लंबी है।

उदाहरण 3:

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

4 समीकरण और 4 अज्ञात हैं, इसलिए सिस्टम में या तो एक ही समाधान हो सकता है, या कोई समाधान नहीं हो सकता है, या असीम रूप से कई समाधान हो सकते हैं। जैसा भी हो सकता है, लेकिन गॉस पद्धति हमें वैसे भी उत्तर की ओर ले जाएगी। यह इसकी बहुमुखी प्रतिभा है।

शुरुआत फिर से मानक है। आइए सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे चरणबद्ध रूप में लाएं:

बस इतना ही, और तुम डर गए थे।

(1). कृपया ध्यान दें कि पहले कॉलम की सभी संख्याएँ 2 से विभाज्य हैं, इसलिए हम ऊपरी बाएँ चरण में दो से संतुष्ट हैं। दूसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को (-4) से गुणा करके जोड़ें। तीसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को (-2) से गुणा करके जोड़ें। चौथी पंक्ति में पहली पंक्ति को (-1) से गुणा करके जोड़ें।

ध्यान!चौथी पंक्ति से कई लोगों को लुभाया जा सकता है घटानापहली पंक्ति। यह किया जा सकता है, लेकिन यह आवश्यक नहीं है, अनुभव से पता चलता है कि गणना में त्रुटि की संभावना कई गुना बढ़ जाती है। बस जोड़ें: चौथी पंक्ति में पहली पंक्ति को (–1) से गुणा करके जोड़ें - बिल्कुल सही!

(2). अंतिम तीन पंक्तियाँ आनुपातिक हैं, उनमें से दो को हटाया जा सकता है। यहां आपको फिर से दिखाने की जरूरत है बढ़ा हुआ ध्यान, लेकिन क्या रेखाएँ वास्तव में समानुपाती होती हैं? सुरक्षित पक्ष पर रहने के लिए, दूसरी पंक्ति को (-1) से गुणा करना और चौथी पंक्ति को 2 से विभाजित करना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा, जिसके परिणामस्वरूप तीन समान रेखाएँ होंगी। और उसके बाद ही उनमें से दो को हटा दें। प्रारंभिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, सिस्टम का विस्तारित मैट्रिक्स एक चरणबद्ध रूप में कम हो जाता है:

किसी कार्य को नोटबुक में भरते समय, स्पष्टता के लिए पेंसिल में समान नोट्स बनाने की सलाह दी जाती है।

आइए समीकरणों की संगत प्रणाली को फिर से लिखें:

यहां सिस्टम का एकमात्र समाधान "सामान्य" की तरह गंध नहीं करता है। एक खराब लाइन जहां λ ≠ 0, भी नहीं। इसका मतलब है कि यह तीसरा शेष मामला है - सिस्टम के पास असीम रूप से कई समाधान हैं।

सिस्टम के समाधान की अनंत संख्या को संक्षेप में तथाकथित के रूप में लिखा जाता है समग्र प्रणाली समाधान.

हम गॉस विधि के रिवर्स कोर्स का उपयोग करके सिस्टम का सामान्य समाधान ढूंढते हैं। समाधान के अनंत सेट वाले समीकरण प्रणालियों के लिए, नई अवधारणाएँ दिखाई देती हैं: "मूल चर"तथा "मुक्त चर"... सबसे पहले, आइए परिभाषित करें कि हमारे पास कौन से चर हैं बुनियादी, और कौन से चर - नि: शुल्क... रैखिक बीजगणित की शर्तों को विस्तार से समझाने की आवश्यकता नहीं है, यह याद रखने के लिए पर्याप्त है कि ऐसे हैं बुनियादी चरतथा मुक्त चर.

मूल चर हमेशा मैट्रिक्स के चरणों पर सख्ती से "बैठते हैं"... इस उदाहरण में, मूल चर हैं एक्स 1 और एक्स 3 .

मुक्त चर सब कुछ हैं बचा हुआवेरिएबल्स जिन्हें एक पायदान नहीं मिला। हमारे मामले में, उनमें से दो हैं: एक्स 2 और एक्स 4 - मुक्त चर।

अब आपको चाहिए सबबुनियादी चरव्यक्त करना केवल भीतर सेमुक्त चर... गाऊसी एल्गोरिथ्म का उल्टा परंपरागत रूप से नीचे से ऊपर तक काम करता है। प्रणाली के दूसरे समीकरण से, हम मूल चर को व्यक्त करते हैं एक्स 3:

आइए पहले समीकरण को देखें: ... सबसे पहले, हम इसमें मिली अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करते हैं:

यह मूल चर को व्यक्त करने के लिए बनी हुई है एक्स 1 मुक्त चर के माध्यम से एक्स 2 और एक्स 4:

अंत में, हमें वह मिला जो हमें चाहिए - सबबुनियादी चर ( एक्स 1 और एक्स 3) व्यक्त केवल भीतर सेमुक्त चर ( एक्स 2 और एक्स 4):

दरअसल, सामान्य समाधान तैयार है:

.

सामान्य समाधान को सही तरीके से कैसे लिखें? सबसे पहले, मुक्त चर सामान्य समाधान में "स्वयं द्वारा" और सख्ती से उनके स्थानों में लिखे जाते हैं। इस मामले में, मुक्त चर एक्स 2 और एक्स 4 को दूसरे और चौथे स्थान पर लिखा जाना चाहिए:

.

मूल चर के लिए प्राप्त व्यंजक और, जाहिर है, आपको पहले और तीसरे स्थान पर लिखना होगा:

सिस्टम के सामान्य समाधान से, आप असीम रूप से कई पा सकते हैं निजी समाधान... यह बहुत सरल है। मुक्त चर एक्स 2 और एक्स 4 इसलिए कहा जाता है क्योंकि उन्हें दिया जा सकता है कोई अंतिम मान... सबसे लोकप्रिय मान शून्य हैं, क्योंकि यह विशेष समाधान का सबसे सरल समाधान है।

प्रतिस्थापन ( एक्स 2 = 0; एक्स 4 = 0) सामान्य समाधान में, हमें एक विशेष समाधान मिलता है:

, या मूल्यों पर मुक्त चर के अनुरूप एक विशेष समाधान है ( एक्स 2 = 0; एक्स 4 = 0).

इकाइयाँ एक और प्यारी जोड़ी हैं, स्थानापन्न ( एक्स 2 = 1 और एक्स 4 = 1) एक सामान्य समाधान में:

, यानी (-1; 1; 1; 1) एक और विशेष समाधान है।

यह देखना आसान है कि समीकरणों की प्रणाली में है असीम रूप से कई समाधान,चूंकि हम मुफ्त चर दे सकते हैं कोई भीमूल्य।

प्रत्येकविशेष समाधान को संतुष्ट करना चाहिए प्रत्येक के लिएप्रणाली का समीकरण। यह समाधान की शुद्धता की "त्वरित" जांच का आधार है। उदाहरण के लिए, एक विशेष समाधान (-1; 1; 1; 1) लें और इसे मूल प्रणाली के प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर प्रतिस्थापित करें:

सब कुछ एक साथ फिट होना चाहिए। और आपके द्वारा प्राप्त किसी विशेष निर्णय के साथ - सब कुछ भी सहमत होना चाहिए।

कड़ाई से बोलते हुए, किसी विशेष समाधान की जाँच करना कभी-कभी धोखा देता है, अर्थात। कुछ विशेष समाधान प्रणाली के प्रत्येक समीकरण को संतुष्ट कर सकते हैं, लेकिन सामान्य समाधान वास्तव में गलत तरीके से पाया जाता है। इसलिए, सबसे पहले, सामान्य समाधान की जांच अधिक गहन और विश्वसनीय है।

परिणामी सामान्य समाधान की जांच कैसे करें ?

यह मुश्किल नहीं है, लेकिन इसके लिए बहुत अधिक समय लेने वाले परिवर्तनों की आवश्यकता होती है। आपको भाव लेने की जरूरत है बुनियादीचर, इस मामले में और, और उन्हें सिस्टम के प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर प्रतिस्थापित करें।

सिस्टम के पहले समीकरण के बाईं ओर:

निकाय के प्रारंभिक प्रथम समीकरण का दायाँ पक्ष प्राप्त होता है।

सिस्टम के दूसरे समीकरण के बाईं ओर:

निकाय के मूल द्वितीय समीकरण का दायीं ओर प्राप्त होता है।

और आगे - सिस्टम के तीसरे और चौथे समीकरण के बाईं ओर। इस जांच में अधिक समय लगता है, लेकिन यह समग्र समाधान की सौ प्रतिशत शुद्धता की गारंटी देता है। इसके अलावा, कुछ कार्यों में, यह आवश्यक सामान्य समाधान का सत्यापन है।

उदाहरण 4:

गाऊसी पद्धति से निकाय को हल कीजिए। एक सामान्य समाधान और दो विशेष समाधान खोजें। सामान्य समाधान की जाँच करें।

यह स्वयं करें समाधान के लिए एक उदाहरण है। यहां, वैसे, फिर से समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या से कम है, जिसका अर्थ है कि यह तुरंत स्पष्ट है कि सिस्टम या तो असंगत होगा या समाधान के अनंत सेट के साथ होगा।

उदाहरण 5:

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें। यदि सिस्टम में असीम रूप से कई समाधान हैं, तो दो विशेष समाधान खोजें और सामान्य समाधान की जांच करें

समाधान:आइए सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे चरणबद्ध रूप में लाएं:

(1). पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में जोड़ें। तीसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को 2 से गुणा करते हैं। चौथी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को 3 से गुणा करते हैं।

(2). तीसरी पंक्ति में, दूसरी पंक्ति को (-5) से गुणा करके जोड़ें। चौथी पंक्ति में, दूसरी पंक्ति को (-7) से गुणा करके जोड़ें।

(3). तीसरी और चौथी पंक्तियाँ समान हैं, हम उनमें से एक को हटा देते हैं। यहाँ ऐसी सुंदरता है:

बुनियादी चर पायदान पर बैठते हैं, इसलिए बुनियादी चर।

केवल एक मुक्त चर है जिसे यहां एक कदम नहीं मिला:।

(4). उलटी चाल। आइए बुनियादी चरों को एक मुक्त चर के रूप में व्यक्त करें:

तीसरे समीकरण से:

दूसरे समीकरण पर विचार करें और उसमें पाए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करें:

, , ,

पहले समीकरण पर विचार करें और पाए गए भावों को और उसमें स्थानापन्न करें:

इस प्रकार, एक मुक्त चर के लिए सामान्य समाधान है एक्स 4:

एक बार फिर, यह कैसे हुआ? मुक्त चर एक्स 4 अकेले अपने सही चौथे स्थान पर बैठता है। मूल चरों के परिणामी व्यंजक भी उनके स्थान पर हैं।

आइए तुरंत सामान्य समाधान की जांच करें।

हम सिस्टम के प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर मूल चर को प्रतिस्थापित करते हैं:

समीकरणों के संगत दाहिने हाथ प्राप्त होते हैं, इस प्रकार, सही सामान्य समाधान पाया जाता है।

अब पाए गए सामान्य समाधान से हमें दो विशेष समाधान मिलते हैं। सभी चर यहाँ एक के माध्यम से व्यक्त किए जाते हैं मुक्त चर x 4 . आपको अपने दिमाग को रैक करने की आवश्यकता नहीं है।

रहने दो एक्स 4 = 0, तब - पहला विशेष समाधान।

रहने दो एक्स 4 = 1, तो - एक और विशेष उपाय।

उत्तर:सामान्य निर्णय: ... निजी समाधान:

तथा ।

उदाहरण 6:

रैखिक समीकरणों के निकाय का सामान्य हल ज्ञात कीजिए।

हमने पहले ही सामान्य निर्णय की जाँच कर ली है, उत्तर पर भरोसा किया जा सकता है। आपके निर्णय का तरीका हमारे निर्णय के पाठ्यक्रम से भिन्न हो सकता है। मुख्य बात आम निर्णयों का मेल होना है। शायद, कई लोगों ने समाधान में एक अप्रिय क्षण देखा है: बहुत बार, गॉस विधि के विपरीत पाठ्यक्रम के दौरान, हमें इसके साथ छेड़छाड़ करनी पड़ती थी साधारण अंश... व्यवहार में, यह सच है, ऐसे मामले जब कोई भिन्न नहीं होते हैं, बहुत कम आम होते हैं। मानसिक रूप से तैयार रहें, और सबसे महत्वपूर्ण, तकनीकी रूप से।

आइए हम समाधान की विशेषताओं पर ध्यान दें जो हल किए गए उदाहरणों में नहीं पाए गए। सिस्टम के सामान्य समाधान में कभी-कभी स्थिर (या स्थिरांक) शामिल हो सकते हैं।

उदाहरण के लिए, सामान्य समाधान है:। यहां मूल चरों में से एक स्थिर संख्या के बराबर है:। इसमें कुछ भी विदेशी नहीं है, ऐसा होता है। जाहिर है, इस मामले में, किसी विशेष समाधान में पहली स्थिति में ए होगा।

विरले ही, लेकिन ऐसी प्रणालियाँ हैं जिनमें समीकरणों की संख्या चर की संख्या से अधिक है... हालांकि, गॉस विधि सबसे कठिन परिस्थितियों में काम करती है। मानक एल्गोरिथ्म के अनुसार सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को एक चरणबद्ध रूप में शांति से कम करना आवश्यक है। ऐसी प्रणाली असंगत हो सकती है, इसके असीमित कई समाधान हो सकते हैं, और अजीब तरह से, इसका एक ही समाधान हो सकता है।

आइए हमारी सलाह को दोहराएं - गाऊसी पद्धति का उपयोग करके सिस्टम को हल करते समय सहज महसूस करने के लिए, आपको अपना हाथ भरना चाहिए और कम से कम एक दर्जन प्रणालियों को हल करना चाहिए।

समाधान और उत्तर:

उदाहरण 2:

समाधान:आइए हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे चरणबद्ध रूप में लाएं।

प्राथमिक परिवर्तन किए गए:

(1) पहली और तीसरी पंक्तियों को उलट दिया जाता है।

(2) पहली पंक्ति को (-6) से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। पहली पंक्ति को (-7) से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

(3) दूसरी पंक्ति को (–1) से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

प्राथमिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, प्रपत्र की एक स्ट्रिंग, कहां λ ≠ 0 .इसका मतलब है कि सिस्टम असंगत है।उत्तर: कोई समाधान नहीं।

उदाहरण 4:

समाधान:आइए सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे चरणबद्ध रूप में लाएं:

प्रदर्शन किए गए रूपांतरण:

(1). पहली पंक्ति को 2 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। पहली पंक्ति को 3 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

दूसरे चरण के लिए कोई नहीं है , और परिवर्तन (2) का उद्देश्य इसे प्राप्त करना है।

(2). तीसरी पंक्ति को -3 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

(3). दूसरी और तीसरी पंक्तियों की अदला-बदली की गई (परिणामस्वरूप -1 को दूसरे चरण में पुनर्व्यवस्थित किया गया)

(4). तीसरी पंक्ति को दूसरी पंक्ति में 3 से गुणा करके जोड़ा गया।

(5). पहली दो पंक्तियों का चिह्न बदल दिया गया था (-1 से गुणा किया गया), तीसरी पंक्ति को 14 से विभाजित किया गया था।

उलटना:

(1). यहां - बुनियादी चर (जो चरणों पर हैं), और - मुक्त चर (जिन्हें एक कदम नहीं मिला)।

(2). आइए बुनियादी चरों को मुक्त चर के रूप में व्यक्त करें:

तीसरे समीकरण से: .

(3). दूसरे समीकरण पर विचार करें:, विशेष समाधान:

उत्तर: सामान्य निर्णय:

जटिल आंकड़े

इस खंड में, हम अवधारणा से परिचित होंगे जटिल संख्या, विचार करना बीजगणितीय, त्रिकोणमितीयतथा अनुकरणीय रूपजटिल संख्या। हम यह भी सीखेंगे कि जटिल संख्याओं के साथ क्रिया कैसे करें: जोड़, घटाव, गुणा, भाग, घातांक और जड़ निष्कर्षण।

जटिल संख्याओं में महारत हासिल करने के लिए, आपको उच्च गणित के पाठ्यक्रम से किसी विशेष ज्ञान की आवश्यकता नहीं है, और सामग्री एक छात्र के लिए भी उपलब्ध है। यह "साधारण" संख्याओं के साथ बीजगणितीय संचालन करने और त्रिकोणमिति को याद रखने में सक्षम होने के लिए पर्याप्त है।

सबसे पहले, आइए "साधारण" नंबरों को याद रखें। गणित में, उन्हें कहा जाता है वास्तविक संख्याओं का समुच्चयऔर पत्र द्वारा निरूपित आर,या आर (मोटा हुआ)। सभी वास्तविक संख्याएँ परिचित संख्या रेखा पर बैठती हैं:

वास्तविक संख्याओं की कंपनी बहुत भिन्न है - यहाँ पूर्णांक, भिन्न और अपरिमेय संख्याएँ हैं। इस मामले में, संख्यात्मक अक्ष का प्रत्येक बिंदु आवश्यक रूप से एक निश्चित वास्तविक संख्या से मेल खाता है।

एक रैखिक प्रणाली के समाधान ढूँढना
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2. एक रैखिक प्रणाली के समाधान ढूँढना

क्रोनकर-कैपेली प्रमेय एक रैखिक प्रणाली की अनुकूलता के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति स्थापित करता है, लेकिन इस प्रणाली के समाधान खोजने का एक तरीका प्रदान नहीं करता है।
इस खंड में, हम रैखिक प्रणाली (3.1) के समाधान की तलाश करेंगे। सबसे पहले, हम मूल मैट्रिक्स के एक गैर-शून्य निर्धारक के साथ रैखिक समीकरणों की द्विघात प्रणाली के सबसे सरल मामले पर विचार करते हैं, और फिर फॉर्म (3.1) के एक सामान्य रैखिक प्रणाली के सभी समाधानों के सेट को खोजने के लिए आगे बढ़ते हैं।
1. मूल मैट्रिक्स के एक गैर-शून्य निर्धारक के साथ रैखिक समीकरणों की एक द्विघात प्रणाली।मान लीजिए कि रैखिक समीकरणों की द्विघात प्रणाली दी गई है

मुख्य मैट्रिक्स के गैर-शून्य निर्धारक के साथ

आइए हम साबित करें कि इस तरह की प्रणाली का एक अनूठा समाधान है, और इसके अलावा, हम इस समाधान को खोज लेंगे। सबसे पहले, हम साबित करते हैं कि सिस्टम (3.10) का केवल एक ही समाधान हो सकता है (यानी, हम इसके अस्तित्व की धारणा के तहत सिस्टम (3.10) के समाधान की विशिष्टता साबित करते हैं)।
मान लीजिए कि कुछ n संख्याएँ x 1, x 2, ..., xn मौजूद हैं, जैसे कि जब इन संख्याओं को सिस्टम (3.10) में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो इस प्रणाली के सभी समीकरण पहचान में बदल जाते हैं (अर्थात, सिस्टम का एक समाधान होता है) (3.10) एक्स 1, एक्स 2, ..., एक्स एन)। फिर, मैट्रिक्स (3.11) के सारणिक के j-ro कॉलम के बीजीय पूरक A 1j, A 2j, ..., A nj तत्वों द्वारा क्रमशः सर्वसमिकाओं (3.10) को गुणा करते हुए, परिणामी सर्वसमिकाओं को जोड़ते हुए, हम प्राप्त करें (किसी भी संख्या j के लिए, 1, 2, ..., n के बराबर)

इस बात को ध्यान में रखते हुए कि j-ro कॉलम के तत्वों के संगत बीजगणितीय पूरक द्वारा ith कॉलम के तत्वों के उत्पादों का योग i j के लिए शून्य के बराबर है और मैट्रिक्स के निर्धारक Δ के बराबर है (3.11 ) i = j के लिए (§ 2 के उपखंड 4 से गुण 4 ° देखें, अध्याय . 1), हम अंतिम समानता से प्राप्त करते हैं

एक्स जे Δ = बी 1 ए 1 जे + बी 2 ए 2 जे + ... + बी एन ए एनजे। (3.12)

आइए हम प्रतीक द्वारा निरूपित करेंΔ जे (बी मैं ) (या, संक्षेप में, प्रतीकΔ जे ) निर्धारक से प्राप्त निर्धारकΔ मुख्य मैट्रिक्स (3.11) के jth कॉलम को फ्री टर्म्स b . के कॉलम से बदलकर 1 , बी 2 , ..., बी एन (अन्य सभी कॉलम अपरिवर्तित रखते हुए Δ ).
ध्यान दें कि (3.12) के दाहिने हाथ में निर्धारक j (bi) शामिल है (इस बात से आश्वस्त होने के लिए, ith कॉलम के तत्वों के संदर्भ में निर्धारक Δ j (bi) के विस्तार को लिखना पर्याप्त है ), और यह समानता रूप लेती है

एक्स जे = Δ जे (3.13)

चूंकि मैट्रिक्स (3.11) का निर्धारक गैर-शून्य है, समानताएं (3.13) संबंधों के बराबर हैं

तो, हमने साबित कर दिया है कि अगर समाधान x 1 , एक्स 2 ,...,एनएस एन निर्धारक के साथ प्रणाली (3.10)Δ मुख्य मैट्रिक्स (3.11) शून्य के अलावा मौजूद है, तो यह समाधान विशिष्ट रूप से सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है (3.14).
सूत्र (3.14) कहलाते हैं क्रैमर के सूत्र.
हम एक बार फिर इस बात पर जोर देते हैं कि हमने अब तक समाधान के अस्तित्व की धारणा के तहत क्रैमर के सूत्र प्राप्त किए हैं और इसकी विशिष्टता साबित करते हैं।
यह प्रणाली के समाधान (3.10) के अस्तित्व को साबित करने के लिए बनी हुई है। इसके लिए, क्रोनकर-कैपेली प्रमेय के आधार पर, यह साबित करना पर्याप्त है कि मुख्य मैट्रिक्स (3.11) की रैंक विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक के बराबर है (सिस्टम के समाधान के अस्तित्व को साबित करने का एक और तरीका भी है) (3.10), जिसमें यह जाँच करना शामिल है कि क्रैमर के सूत्रों (3.14) द्वारा परिभाषित संख्याएँ x 1, x 2, .., n, सिस्टम के सभी समीकरणों (3.10) को पहचान में परिवर्तित करती हैं)

लेकिन यह स्पष्ट है, क्योंकि संबंध 0 के आधार पर, मुख्य मैट्रिक्स की रैंक n के बराबर है, और n पंक्तियों वाले विस्तारित मैट्रिक्स (3.15) की रैंक n से अधिक नहीं हो सकती है और इसलिए बराबर है मुख्य मैट्रिक्स के रैंक तक।
यह पूरी तरह से साबित करता है कि मूल मैट्रिक्स के एक गैर-शून्य निर्धारक के साथ रैखिक समीकरणों (3.10) की द्विघात प्रणाली में, और, इसके अलावा, क्रैमर के सूत्रों (3.14) द्वारा निर्धारित एक अनूठा समाधान है।

हमने जो दावा सिद्ध किया है उसे मैट्रिक्स तरीके से और भी आसान स्थापित किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम (जैसा कि 1 के उपखंड 1 में) सिस्टम (3.10) को समतुल्य मैट्रिक्स समीकरण द्वारा प्रतिस्थापित करते हैं

कुल्हाड़ी = बी, (3.16)

जहां ए सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स (3.11) है, और एक्स और बी कॉलम हैं,

जिनमें से पहला निर्धारित किया जाना है, और दूसरा दिया गया है।
चूँकि आव्यूह A का सारणिक अशून्य है, तो एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स A -1 है (देखें खंड 7, खंड 2, अध्याय 1)।
मान लीजिए कि सिस्टम (3.10) का एक समाधान है, अर्थात। एक कॉलम एक्स है जो मैट्रिक्स समीकरण (3.16) को एक पहचान बनाता है। व्युत्क्रम मैट्रिक्स द्वारा बाईं ओर इंगित पहचान को गुणा करना А -1 हमारे पास होगा

ए -1 (एएक्स) = ए -1 बी (3.17)

आइए अब हम इस बात पर ध्यान दें कि तीन आव्यूहों के गुणनफल के संयोजन गुण के आधार पर (अध्याय 1 के 1 का उपखंड 2 देखें) और संबंध के आधार पर ए -1 ए = ई, जहां ई पहचान मैट्रिक्स है (अध्याय 1 के 2 का 7 देखें), ए -1 (एएक्स) = (ए -1 ए) एक्स = ईएक्स = एक्स, इसलिए हम (3.17) से प्राप्त करते हैं

एक्स = ए -1 बी (3.18)

समानता का विस्तार (3.18) और खंड 7, खंड 2, Ch से व्युत्क्रम मैट्रिक्स (सूत्र A.41 देखें) के रूप को ध्यान में रखते हुए। 1), हमें स्तंभ X के तत्वों के लिए Cramer's सूत्र मिलते हैं।
इसलिए, हमने साबित कर दिया है कि यदि मैट्रिक्स समीकरण (3.16) का समाधान मौजूद है, तो यह विशिष्ट रूप से संबंध (3.18) द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो क्रैमर के सूत्रों के बराबर हैं।
यह जांचना आसान है कि संबंध (3.18) द्वारा परिभाषित कॉलम एक्स वास्तव में मैट्रिक्स समीकरण (3.16) का समाधान है,
अर्थात्, जब इस समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो यह इसे एक पहचान में बदल देता है। वास्तव में, यदि स्तंभ X को समानता (3.18) द्वारा परिभाषित किया गया है, तो AX = A (A -1 B) = (AA -1) B = EB = B।
इसलिए, यदि मैट्रिक्स ए का निर्धारक गैर-शून्य है (अर्थात, यदि यह मैट्रिक्स नॉनडीजेनरेट है), तो मौजूद है, और इसके अलावा, मैट्रिक्स समीकरण (3.16) का एक अनूठा समाधान है, जिसे संबंध (3.18) द्वारा परिभाषित किया गया है, क्रैमर के सूत्रों के बराबर।
उदाहरण। आइए रैखिक समीकरणों की द्विघात प्रणाली का हल खोजें

मुख्य मैट्रिक्स के गैर-शून्य निर्धारक के साथ

जहां तक ​​कि

फिर, क्रैमर के सूत्रों के आधार पर, विचाराधीन प्रणाली के एकमात्र समाधान का रूप x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3, x 4 = 4 है।
क्रैमर के सूत्रों का मुख्य अर्थ यह है कि वे समीकरणों और मुक्त शर्तों के गुणांक के संदर्भ में रैखिक समीकरणों (एक गैर-शून्य निर्धारक के साथ) की द्विघात प्रणाली को हल करने के लिए एक स्पष्ट अभिव्यक्ति देते हैं। क्रैमर के सूत्रों का व्यावहारिक उपयोग बल्कि बोझिल गणनाओं से जुड़ा है (n अज्ञात के साथ n समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए, n वें क्रम के निर्धारक (n + 1) की गणना करना आवश्यक है)। इसमें यह जोड़ा जाना चाहिए कि यदि समीकरणों और मुक्त शर्तों के गुणांक किसी भी मापी गई भौतिक मात्रा के अनुमानित मान हैं या गणना की प्रक्रिया में गोल हैं, तो क्रैमर के सूत्रों के उपयोग से बड़ी त्रुटियां हो सकती हैं और कुछ मामले अनुचित हैं।
धारा 4, अध्याय 4 में नियमितीकरण विधि के कारण ए.एन. तिखोनोव और आपको समीकरणों के गुणांक के मैट्रिक्स और मुक्त शर्तों के एक स्तंभ को निर्दिष्ट करने की सटीकता के साथ एक रैखिक प्रणाली का समाधान खोजने की अनुमति देता है, और Ch में। 6 रैखिक प्रणालियों को हल करने के लिए तथाकथित पुनरावृत्त विधियों का एक विचार देता है, जो अज्ञात के क्रमिक सन्निकटन का उपयोग करके इन प्रणालियों को हल करना संभव बनाता है।
अंत में, हम ध्यान दें कि इस उपधारा में हमने सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स (3.10) के निर्धारक के गायब होने के मामले को विचार से बाहर रखा है। यह मामला अगले उपखंड में प्रस्तुत n अज्ञात के साथ m रैखिक समीकरणों के सिस्टम के सामान्य सिद्धांत में समाहित होगा।
2. एक सामान्य रैखिक प्रणाली के सभी समाधान खोजना।आइए अब हम n अज्ञात (3.1) के साथ m रैखिक समीकरणों के एक सामान्य निकाय पर विचार करें। मान लीजिए कि यह प्रणाली सुसंगत है और इसके मुख्य और विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक r के बराबर है। व्यापकता के नुकसान के बिना, हम मान सकते हैं कि मुख्य मैट्रिक्स (3.2) का मूल नाबालिग इस मैट्रिक्स के ऊपरी बाएं कोने में है (सामान्य मामले को इस मामले में समीकरणों और सिस्टम में अज्ञात (3.1) की अनुमति देकर कम किया जाता है)।
फिर मुख्य मैट्रिक्स (3.2) और विस्तारित मैट्रिक्स (3.8) दोनों की पहली r पंक्तियाँ इन मैट्रिक्स की आधार पंक्तियाँ हैं (चूंकि मुख्य और विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक दोनों r के बराबर हैं, मुख्य मैट्रिक्स का मूल नाबालिग एक साथ विस्तारित मैट्रिक्स का आधार नाबालिग होगा), और, मूल नाबालिग पर प्रमेय 1.6 द्वारा, विस्तारित मैट्रिक्स (1.8) की प्रत्येक पंक्ति, (आर + 1) वें पंक्ति से शुरू होकर, एक रैखिक संयोजन है इस मैट्रिक्स की पहली r पंक्तियाँ।
प्रणाली (3.1) के संदर्भ में, इसका मतलब है कि इस प्रणाली के प्रत्येक समीकरण, (r + 1) वें समीकरण से शुरू होकर, इस प्रणाली के पहले r समीकरणों का एक रैखिक संयोजन (यानी, एक परिणाम) है ( यानी, सिस्टम (3.1) के पहले r समीकरणों का कोई भी समाधान इस प्रणाली के सर्वसमिका और बाद के सभी समीकरणों में बदल जाता है).
इस प्रकार, सिस्टम के केवल पहले r समीकरणों (3.1) के सभी समाधान खोजने के लिए पर्याप्त है। सिस्टम के पहले r समीकरणों (3.1) पर विचार करें, उन्हें फॉर्म में लिखें

यदि हम अज्ञात xr + 1, ..., xn पूरी तरह से मनमाना मान Cr + 1, ..., cn देते हैं, तो सिस्टम (1.19) r अज्ञात x 1 के लिए r रैखिक समीकरणों की एक द्विघात प्रणाली में बदल जाएगा, x 2, ..., r, और इस प्रणाली के मूल मैट्रिक्स का निर्धारक मैट्रिक्स (3.2) का एक गैर-शून्य मूल नाबालिग है। पिछले खंड के परिणामों के आधार पर, इस प्रणाली (3.19) में क्रैमर के सूत्रों द्वारा परिभाषित एक अनूठा समाधान है, अर्थात, मनमाने ढंग से चुने गए cr + 1, ..., cn के लिए, संख्या c 1 का एक अनूठा संग्रह r मौजूद है। ..., करोड़, सिस्टम के सभी समीकरणों (3.19) को पहचान में परिवर्तित करना और क्रैमर के सूत्रों द्वारा परिभाषित किया गया।
इस अद्वितीय समाधान को लिखने के लिए, हम मैट्रिक्स (3.2) के मूल नाबालिग एम से प्राप्त सारणिक को प्रतीक एम जे (डी) द्वारा निरूपित करने के लिए सहमत हैं, इसके जे-आरओ कॉलम को संख्या डी 1, डी 2 के कॉलम के साथ बदलकर, ..., di, ..., dr (अन्य सभी M कॉलम अपरिवर्तित रखते हुए)। फिर, क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके और सारणिक के रैखिक गुण का उपयोग करके सिस्टम के समाधान (3.19) को लिखते हुए, हम प्राप्त करते हैं

सूत्र (3.20) अज्ञात के गुणांक xj = cj (j = 1, 2, ......, r) के मानों को अज्ञात के गुणांक, मुक्त शर्तों और r + 1 के साथ मनमाने मापदंडों के रूप में व्यक्त करते हैं, ...., एन के साथ।
आइए साबित करें कि सूत्रों (3.20) में सिस्टम का कोई भी समाधान होता है (3.1)... वास्तव में, माना c (0) 1, c (0) 2, ..., c (0) r, c (0) r + 1, ..., c (0) n संकेतित प्रणाली का एक मनमाना समाधान है। . फिर यह व्यवस्था का समाधान भी है (3.19)। लेकिन प्रणाली (3.19) से मात्रा c (0) 1, c (0) 2, ..., c (0) r, मात्रा c (0) r + 1, ..., c के संदर्भ में निर्धारित की जाती है (0) n विशिष्ट और सटीक रूप से Cramer's सूत्रों (3.20) द्वारा। इस प्रकार, c . के लिए आर + 1 = सी (0) आर + 1, ..., साथ एन = सी (0) एन सूत्र (3.20) हमें केवल माना समाधान देते हैं c (0) 1 , सी (0) 2 , ..., सी (0) आर , सी (0) आर + 1, ..., सी (0) एन .
टिप्पणी।यदि सिस्टम के मुख्य और विस्तारित मैट्रिक्स (3.1) का रैंक r अज्ञात n की संख्या के बराबर है, तो इस मामले में संबंध (3.20) सूत्रों पर जाते हैं

प्रणाली के लिए अद्वितीय समाधान का निर्धारण (3.1)। इस प्रकार, सिस्टम (3.1) का एक अनूठा समाधान है (अर्थात, निश्चित है) बशर्ते कि इसके मुख्य और विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक r अज्ञात की संख्या के बराबर हो n (और समीकरणों की संख्या से कम या उसके बराबर हो)।
उदाहरण। रैखिक प्रणाली के सभी समाधान खोजें

यह सत्यापित करना आसान है कि इस प्रणाली के मुख्य और विस्तारित मैट्रिक्स दोनों की रैंक दो के बराबर है (यानी, यह प्रणाली सुसंगत है), और हम मान सकते हैं कि मूल नाबालिग एम मुख्य मैट्रिक्स के ऊपरी बाएं कोने में है , अर्थात ... लेकिन फिर, पिछले दो समीकरणों को छोड़कर और 3 और 4 के साथ मनमाने ढंग से सेट करने पर, हमें सिस्टम मिलता है

एक्स 1 - एक्स 2 = 4 - सी 3 + सी 4,

एक्स 1 + एक्स 2 = 8 - 2सी 3 - 3सी 4,

जिससे, क्रैमर के सूत्रों के आधार पर, हम मान प्राप्त करते हैं

एक्स 1 = सी 1 = 6 - 3/2 सी 3 - सी 4, एक्स 2 = सी 2 = 2 - 1/2 सी 3 - 2 सी 4. (3.22)

इस प्रकार, चार संख्याएं

(6 - 3/2 सी 3 - सी 4, 2 - 1/2 सी 3 - 2 सी 4, सी 3, सी 4) (3.23)

बिना सोचे समझे मान सेट करें c 3 और c 4 सिस्टम (3.21) के लिए एक समाधान बनाते हैं, और पंक्ति (3.23) में इस प्रणाली के सभी समाधान होते हैं।

3. एक सजातीय प्रणाली के समाधान के सेट के गुण।अब n अज्ञात (3.7) के साथ m रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली पर विचार करें, यह मानते हुए, कि मैट्रिक्स (3.2) की रैंक r के बराबर है, और यह कि मूल नाबालिग इस मैट्रिक्स के ऊपरी बाएं कोने में स्थित है। चूँकि इस समय सभी b i शून्य के बराबर हैं, सूत्रों (3.20) के बजाय हमें निम्नलिखित सूत्र मिलते हैं:

अज्ञात के गुणांक के संदर्भ में अज्ञात x j = c j (j = 1, 2, ..., r) के मूल्यों को व्यक्त करना और मनमाने ढंग से दिए गए मान c r + 1, ..., c n। पिछले पैराग्राफ में जो साबित हुआ था उसके आधार पर सूत्रों (3.24) में सजातीय प्रणाली का कोई समाधान होता है (3.7).
आइए अब सत्यापित करें कि संग्रह सजातीय प्रणाली के सभी समाधानों का (3.7) रैखिक स्थान बनाता है.
माना X 1 = (x (1) 1, x (1) 2, ..., x (1) n) और X 2 = (x (2) 1, x (2) 2, ..., x ( 2) n) सजातीय प्रणाली (3.7) के दो मनमाना समाधान हैं, और कोई वास्तविक संख्या है। चूंकि सजातीय प्रणाली का प्रत्येक समाधान (3.7) n संख्याओं के सभी क्रमबद्ध संग्रहों के रैखिक स्थान А n का एक तत्व है, यह साबित करने के लिए पर्याप्त है कि दो संग्रहों में से प्रत्येक

एक्स 1 + एक्स 2 = (एक्स (1) 1 + एक्स (2) 1, ..., एक्स (1) एन + एक्स (2) एन)

एक्स 1 = (λ एक्स (1) 1, ..., एक्स (1) एन)

सजातीय प्रणाली (3.7) का समाधान भी है।
सिस्टम के किसी भी समीकरण (3.7) पर विचार करें, उदाहरण के लिए मैं-वें समीकरण, और निर्दिष्ट सेट के अज्ञात तत्वों के स्थान पर इस समीकरण में स्थानापन्न करें। यह ध्यान में रखते हुए कि एक्स 1 और एक्स 2 एक सजातीय प्रणाली के समाधान हैं, हमारे पास होगा

और इसका मतलब है कि संग्रह X 1 + X 2 और λ X 1 सजातीय प्रणाली (3.7) के समाधान हैं।
इस प्रकार, सजातीय प्रणाली (3.7) के सभी समाधानों का सेट एक रैखिक स्थान बनाता है, जिसे हम आर द्वारा निरूपित करते हैं।
आइए हम इस स्थान R का आयाम ज्ञात करें और इसमें एक आधार की रचना करें।
आइए हम साबित करें कि इस धारणा के तहत कि सजातीय प्रणाली (3.7) के मैट्रिक्स की रैंक r के बराबर है, सजातीय प्रणाली (3.7) के सभी समाधानों का रैखिक स्थान R, रैखिक स्थान A के समरूपी है एन आर संख्याओं के सभी क्रमबद्ध संग्रह (n - r) में से(एन स्पेस ए एम को उदाहरण 3, खंड 1, खंड 1, अध्याय 2 में पेश किया गया था)।

हम समांगी प्रणाली (3.7) के प्रत्येक समाधान (c 1, ..., c r, c r + 1, ..., c n) को अंतरिक्ष के एक तत्व (c r + 1, ..., c n) से जोड़ते हैं। ए एन आरचूंकि संख्या c r + 1, ..., c n को मनमाने ढंग से चुना जा सकता है और प्रत्येक विकल्प के लिए सूत्रों (3.24) का उपयोग करके विशिष्ट रूप से सिस्टम (3.7) के समाधान का निर्धारण करते हैं, हमने जो पत्राचार स्थापित किया है वह है एक से एक... इसके अलावा, ध्यान दें कि यदि अंतरिक्ष के तत्व c (1) r + 1, ..., c (1) n और c (2) r + 1, ..., c (2) n ए एन आरतत्वों के अनुरूप (सी (1) 1, ..., सी (1) आर, सी (1) आर + 1, ..., सी (1) एन) और (सी (2) 1, ... , c (2) r, c (2) r + 1, ..., c (2) n) स्थान R का है, तो सूत्र (3.24) तुरंत इंगित करते हैं कि तत्व (c (1) r + 1 + c (2 ) r + 1, ..., c (1) n + c (2) n) तत्व से मेल खाता है (c (1) 1 + c (2) 1, ..., c (1) r + सी (2) आर, सी (1) आर + 1 + सी (2) आर + 1, ..., सी (1) एन + सी (2) एन), और तत्व (λ सी (1) आर + 1, ..., λ सी (1) एन) किसी भी वास्तविक के लिए एक तत्व से मेल खाता है (λ सी (1) 1, ..., λ सी (1) आर, λ सी (1) आर + 1, . .., सी (1) एन)। यह साबित करता है कि हमने जो पत्राचार स्थापित किया है वह एक समरूपता है।
इस प्रकार, अज्ञात के साथ सजातीय प्रणाली (3.7) के सभी समाधानों का रैखिक स्थान आर और आर के बराबर मुख्य मैट्रिक्स की रैंक अंतरिक्ष के लिए समरूप है ए एन आरऔर, इसलिए, आयाम n - r है।
सजातीय प्रणाली (3.7) रूपों (प्रमेय 2.5 के आधार पर) के लिए (एन - आर) रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों का कोई भी संग्रह सभी समाधानों के अंतरिक्ष आर में एक आधार है और इसे सजातीय प्रणाली (3.7) के समाधान का मौलिक संग्रह कहा जाता है। .
समाधानों का एक मौलिक सेट बनाने के लिए, आप अंतरिक्ष के किसी भी आधार से जा सकते हैं ए एन आर... इस आधार के अनुरूप प्रणाली (3.7) के समाधान का सेट, आइसोमोर्फिज्म के कारण, रैखिक रूप से स्वतंत्र होगा और इसलिए समाधानों का एक मौलिक सेट होगा।
सिस्टम के समाधानों का मौलिक सेट (3.7) विशेष रूप से प्रतिष्ठित है, जो सबसे सरल आधार ई 1 = (1, 0, 0, ..., 0) के अनुरूप है, ई 2 = (1, 1, 0, ..., 0), ... , е nr = (0, 0, 0, ..., 1) स्थान का ए एन आरऔर सजातीय प्रणाली (3.7) के समाधान के सामान्य मौलिक सेट कहा जाता है।
मूल नाबालिग के पद और स्थान के बारे में उपरोक्त धारणाओं के तहत, सूत्रों (3.24) के आधार पर, सजातीय प्रणाली (3.7) के समाधान के सामान्य मौलिक सेट का रूप है:

आधार की परिभाषा के अनुसार, सजातीय प्रणाली (3.7) के किसी भी समाधान X को रूप में दर्शाया जा सकता है

एक्स = सी 1 एक्स 1 + सी 2 एक्स 2 + ... + सी एन-आर एक्स एन-आर, (3.26)

जहाँ C 1, C 2, ..., C n-r कुछ अचर हैं। चूंकि सूत्र (3.26) में सजातीय प्रणाली (3.7) का कोई भी समाधान होता है, यह सूत्र माना सजातीय प्रणाली का एक सामान्य समाधान देता है।
उदाहरण। समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली पर विचार करें:

पिछले खंड के अंत में उदाहरण में विश्लेषण की गई अमानवीय प्रणाली (3.21) के अनुरूप। वहां हमने पाया कि इस प्रणाली के मैट्रिक्स का रैंक r दो के बराबर है, और हमने संकेतित मैट्रिक्स के ऊपरी बाएं कोने में नाबालिग को आधार के रूप में लिया।
पिछले उपखंड के अंत में तर्क को दोहराते हुए, सूत्रों (3.22) के बजाय, हम संबंध प्राप्त करते हैं

सी 1 = - 3/2 सी 3 - सी 4, सी 2 = - 1/2 सी 3 - 2सी 4,

मनमाने ढंग से चुने गए c 3 और c 4 के लिए मान्य। इन संबंधों का उपयोग करते हुए (पहले c 3 = 1, c 4 = 0, और फिर c 3 = 0, c 4 = 1 मानते हुए) हम सिस्टम के दो समाधानों का एक सामान्य मौलिक सेट प्राप्त करते हैं (3.27):

एक्स 1 = (-3 / 2, -1 / 2,1,0), एक्स 2 = (-1, -2, 0,1)। (3.28)

जहाँ C 1 और C 2 स्वेच्छ अचर हैं।
इस उपधारा को समाप्त करने के लिए, हम अमानवीय रैखिक प्रणाली (3.1) और संबंधित सजातीय प्रणाली (3.7) (अज्ञात के लिए समान गुणांक के साथ) के समाधान के बीच एक संबंध स्थापित करते हैं। आइए हम निम्नलिखित दो कथनों को सिद्ध करें।
1 डिग्री। अमानवीय प्रणाली (3.1) के किसी भी समाधान का योग संबंधित सजातीय प्रणाली (3.7) के किसी भी समाधान के साथ प्रणाली (3.1) का समाधान है।
वास्तव में, यदि c 1, ..., cn प्रणाली (3.1) का एक समाधान है, तो विज्ञापन 1, ..., dn संगत सजातीय प्रणाली (3.7) का एक समाधान है, तो, किसी में प्रतिस्थापित करना (उदाहरण के लिए, में ith ) अज्ञात संख्या c 1 + d 1, ..., cn + dn के स्थान पर प्रणाली (3.1) का समीकरण, हम प्राप्त करते हैं

क्यू.ई.डी.
2 डिग्री। अमानवीय प्रणाली (3.1) के दो मनमाने समाधानों का अंतर संबंधित सजातीय प्रणाली (3.7) का समाधान है।
वास्तव में, यदि c "1, ..., c" n और c "1, ..., c" n सिस्टम (3.1) के दो मनमानी समाधान हैं, तो, किसी भी (उदाहरण के लिए, ith में) समीकरण में प्रतिस्थापित करना सिस्टम की (3.7) अज्ञात संख्या c "1 - c" 1, ..., c "n - c" n के स्थान पर हम प्राप्त करते हैं

क्यू.ई.डी.
सिद्ध कथनों से यह निष्कर्ष निकलता है कि, अमानवीय प्रणाली (3.1) के लिए एक समाधान खोजने और इसे संबंधित सजातीय प्रणाली (3.7) के प्रत्येक समाधान में जोड़कर, हम अमानवीय प्रणाली (3.1) के सभी समाधान प्राप्त करते हैं।
दूसरे शब्दों में, अमानवीय प्रणाली (3.1) के एक विशेष समाधान का योग और संबंधित सजातीय प्रणाली (3.7) का सामान्य समाधान अमानवीय प्रणाली (3.1) का सामान्य समाधान देता है।
अमानवीय प्रणाली (3.1) के एक विशेष समाधान के रूप में, इसका समाधान लेना स्वाभाविक है (इस मामले में, ऊपर के रूप में, यह माना जाता है कि सिस्टम के मुख्य और विस्तारित मैट्रिक्स (3.1) के रैंक बराबर हैं r और कि मूल नाबालिग इन मैट्रिक्स के ऊपरी बाएँ कोने में है)

जो प्राप्त होगा यदि सभी संख्याएँ c r + 1, ..., c n को सूत्रों (3.20) में शून्य के बराबर सेट किया जाए। इस विशेष समाधान को संबंधित सजातीय प्रणाली के सामान्य समाधान (3.26) के साथ जोड़ने पर, हम अमानवीय प्रणाली (3.1) के सामान्य समाधान के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं:

एक्स = एक्स 0 + सी 1 एक्स 1 + सी 2 एक्स 2 + ... + सी एन-आर एक्स एन-आर। (3.30)

इस व्यंजक में, X 0 एक विशेष समाधान (3.29) को दर्शाता है, C 1, C 2, ..., C nr स्वेच्छ अचर हैं, और X 1, X 2, ..., X nr सामान्य मूलभूत समुच्चय के अवयव हैं। समाधान की (3.25) संगत सजातीय प्रणाली।
तो, पिछले खंड के अंत में विचार की गई अमानवीय प्रणाली (3.21) के लिए, फॉर्म का विशेष समाधान (3.29) एक्स 0 = (6,2,0,0) के बराबर है।
इस विशेष समाधान को संबंधित सजातीय प्रणाली (3.27) के सामान्य समाधान (3.28) के साथ जोड़कर, हम अमानवीय प्रणाली (3.21) का निम्नलिखित सामान्य समाधान प्राप्त करते हैं:

एक्स = (6,2,0,0) + सी 1 (-3 / 2, -1 / 2,1,0) + सी 2 (-1, -2, 0,1)। (3.31)

यहाँ C1 और C2 स्वेच्छ अचर हैं।
4. रैखिक प्रणालियों को हल करने पर टिप्पणी समाप्त करना।पिछले पैराग्राफ में विकसित रैखिक प्रणालियों को हल करने के तरीके
मैट्रिक्स के रैंक की गणना करने और इसके मूल नाबालिग को खोजने की आवश्यकता के खिलाफ दौड़ें। बुनियादी नाबालिग मिल जाने के बाद, समाधान निर्धारकों की गणना करने की तकनीक और क्रैमर के सूत्रों के उपयोग के लिए कम हो गया है।
मैट्रिक्स के रैंक की गणना करने के लिए, आप निम्नलिखित नियम का उपयोग कर सकते हैं: मैट्रिक्स के रैंक की गणना करते समय, किसी को निचले क्रम के नाबालिगों से उच्च आदेश के नाबालिगों को पास करना चाहिए; इसके अलावा, यदि आदेश k का एक गैर-शून्य नाबालिग पहले से ही पाया गया है, तो केवल आदेश के नाबालिग (k + 1) सीमा पर हैं(अर्थात, एक नाबालिग एम युक्त) यह नाबालिग एम है; यदि क्रम के सभी सीमावर्ती अवयस्क (k + 1) शून्य के बराबर हैं, तो मैट्रिक्स की रैंक k के बराबर है(वास्तव में, संकेतित मामले में, मैट्रिक्स की सभी पंक्तियाँ (स्तंभ) इसकी k पंक्तियों (कॉलम) के रैखिक पतवार से संबंधित हैं, जिसके चौराहे पर एक मामूली M है, और संकेतित रैखिक पतवार का आयाम है कश्मीर के बराबर)।
आइए मैट्रिक्स के रैंक की गणना के लिए एक और नियम इंगित करें। ध्यान दें कि एक मैट्रिक्स की पंक्तियों (कॉलम) के साथ कोई भी उत्पादन कर सकता है तीन प्राथमिक संचालनजो इस मैट्रिक्स के रैंक को नहीं बदलते हैं: 1) दो पंक्तियों (या दो कॉलम) का क्रमपरिवर्तन, 2) किसी भी गैर-शून्य कारक द्वारा एक पंक्ति (या कॉलम) का गुणन, 3) एक पंक्ति (स्तंभ) में एक मनमाना रैखिक संयोजन जोड़ना अन्य पंक्तियों (स्तंभों) की (ये तीन ऑपरेशन इस तथ्य के कारण मैट्रिक्स के रैंक को नहीं बदलते हैं कि ऑपरेशन 1) और 2) मैट्रिक्स की रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों (कॉलम) की अधिकतम संख्या को नहीं बदलते हैं, और ऑपरेशन 3) संपत्ति है कि इस ऑपरेशन से पहले उपलब्ध सभी पंक्तियों (स्तंभों) की रैखिक पतवार, इस ऑपरेशन के बाद प्राप्त सभी पंक्तियों (स्तंभों) के रैखिक लिफाफे के साथ मेल खाती है)।
हम कहते हैं कि मैट्रिक्स || a ij ||, जिसमें m पंक्तियाँ और n कॉलम हैं, में है विकर्णरूप, यदि इसके सभी तत्व शून्य के बराबर हैं, a 11, a 22, .., a rr के अलावा, जहां r = min (m, n)। ऐसे मैट्रिक्स का रैंक स्पष्ट रूप से r है।
आइए सुनिश्चित करें कि तीन प्राथमिक संक्रियाओं के माध्यम से कोई भी मैट्रिक्स

विकर्ण रूप में घटाया जा सकता है(जो हमें इसके रैंक की गणना करने की अनुमति देता है)।

दरअसल, यदि मैट्रिक्स (3.31) के सभी तत्व शून्य के बराबर हैं, तो यह मैट्रिक्स पहले से ही एक विकर्ण रूप में कम हो गया है। यदि चटाई-
यदि ग्राफ़ (3.31) में शून्येतर अवयव हैं, तो दो पंक्तियों और दो स्तंभों के क्रमपरिवर्तन द्वारा उस तत्व को प्राप्त करना संभव है जो कि 11 अशून्य है। उसके बाद, मैट्रिक्स की पहली पंक्ति को 11 -1 से गुणा करके, हम तत्व को 11 को एक में बदल देंगे। मैट्रिक्स के j-ro कॉलम से आगे घटाना (j = 2, 3, ..., n के लिए) पहला कॉलम, i1 से गुणा करना, और फिर i-th पंक्ति से घटाना (i = 2, 3 के लिए) , ..., n) पहली पंक्ति, जिसे i1 से गुणा किया जाता है, हमें (3.31) के बजाय निम्न रूप का एक मैट्रिक्स मिलता है:

फ्रेम में लिए गए मैट्रिक्स के साथ हमारे द्वारा पहले से वर्णित संचालन करना, और इसी तरह से कार्य करना जारी रखते हुए, चरणों की एक सीमित संख्या के बाद, हम एक विकर्ण रूप का मैट्रिक्स प्राप्त करेंगे।
पिछले पैराग्राफ में वर्णित रैखिक प्रणालियों को हल करने के तरीके, जो अंततः क्रैमर के सूत्रों के उपकरण का उपयोग करते हैं, उस मामले में बड़ी त्रुटियां पैदा कर सकते हैं जब समीकरणों के गुणांक और मुक्त शर्तों के मान लगभग या जब ये मान दिए जाते हैं गणना की प्रक्रिया में गोल हैं।
सबसे पहले, यह उस मामले को संदर्भित करता है जब मुख्य निर्धारक (या मूल नाबालिग) के अनुरूप मैट्रिक्स है बीमार वातानुकूलित(अर्थात, जब इस मैट्रिक्स के तत्वों में "छोटे" परिवर्तन व्युत्क्रम मैट्रिक्स के तत्वों में "बड़े" परिवर्तनों के अनुरूप होते हैं)। स्वाभाविक रूप से, इस मामले में, रैखिक प्रणाली का समाधान होगा अस्थिर(यानी, समाधान में "बड़े" परिवर्तन समीकरणों और मुक्त शर्तों के गुणांक के मूल्यों में "छोटे" परिवर्तनों के अनुरूप होंगे)।
इन परिस्थितियों में रैखिक प्रणालियों को हल करने के लिए समाधान और संख्यात्मक तरीकों को खोजने के लिए अन्य (क्रैमर के सूत्रों से अलग) सैद्धांतिक एल्गोरिदम विकसित करने की आवश्यकता होती है।
भाग 4, अध्याय 4 में, हम इससे परिचित होंगे नियमितीकरण की विधि द्वारा ए.एन. टिकोनोवतथाकथित ढूँढना साधारण(यानी, मूल के सबसे करीब) रैखिक प्रणाली का समाधान।
अध्याय 6 तथाकथित के बारे में बुनियादी जानकारी प्रदान करेगा पुनरावृत्त विधियांरैखिक प्रणालियों के समाधान जो अज्ञात के क्रमिक सन्निकटन का उपयोग करके इन प्रणालियों को हल करने की अनुमति देते हैं।

n अज्ञात के साथ m रैखिक समीकरणों की एक प्रणालीफॉर्म की एक प्रणाली कहा जाता है

कहां एक आईजेयूतथा बी मैं (मैं=1,…,एम; बी=1,…,एन) क्या कुछ ज्ञात संख्याएँ हैं, और एक्स 1, ..., एक्स एन- अनजान। गुणांक के पदनाम में एक आईजेयूपहला सूचकांक मैंसमीकरण संख्या को दर्शाता है, और दूसरा जे- अज्ञात की संख्या जिस पर यह गुणांक खड़ा है।

हम अज्ञात के लिए गुणांक को मैट्रिक्स के रूप में लिखेंगे , जिसे हम कहेंगे सिस्टम मैट्रिक्स.

समीकरणों के दाईं ओर की संख्याएँ बी 1, ..., बी एमकहा जाता है मुक्त सदस्य।

समुच्चय एननंबर सी 1, ..., सी एनबुलाया फैसलादिए गए सिस्टम का, यदि सिस्टम का प्रत्येक समीकरण संख्याओं के प्रतिस्थापन के बाद समानता में बदल जाता है सी 1, ..., सी एनसंबंधित अज्ञात के बजाय एक्स 1, ..., एक्स एन.

हमारा काम सिस्टम का समाधान खोजना होगा। इस मामले में, तीन स्थितियां उत्पन्न हो सकती हैं:

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली जिसमें कम से कम एक समाधान होता है, कहलाता है संयुक्त... अन्यथा, अर्थात्। यदि सिस्टम का कोई समाधान नहीं है, तो इसे कहा जाता है असंगत.

सिस्टम के समाधान खोजने के तरीकों पर विचार करें।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए मैट्रिक्स विधि

मैट्रिक्स रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को संक्षेप में लिखना संभव बनाता है। मान लीजिए कि तीन अज्ञात के साथ 3 समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है:

सिस्टम के मैट्रिक्स पर विचार करें और अज्ञात और मुक्त शर्तों के मैट्रिक्स कॉलम

चलो एक काम ढूंढते हैं

वे। उत्पाद के परिणामस्वरूप, हम इस प्रणाली के समीकरणों के बाएं हाथ प्राप्त करते हैं। फिर, मैट्रिक्स की समानता की परिभाषा का उपयोग करके, इस प्रणाली को रूप में लिखा जा सकता है

या छोटा ए∙एक्स = बी.

यहाँ मैट्रिसेस एतथा बीज्ञात हैं, और मैट्रिक्स एक्सअनजान। उसे भी खोजने की जरूरत है, टीके। इसके तत्व इस प्रणाली का समाधान हैं। इस समीकरण को कहा जाता है मैट्रिक्स समीकरण.

बता दें कि मैट्रिक्स का सारणिक अशून्य है | ए| 0. फिर मैट्रिक्स समीकरण निम्नानुसार हल किया जाता है। हम बाईं ओर समीकरण के दोनों पक्षों को मैट्रिक्स द्वारा गुणा करते हैं ए -1, मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ए:. जहां तक ​​कि ए -1 ए = ईतथा इ∙एक्स = एक्स, तो हम रूप में मैट्रिक्स समीकरण का समाधान प्राप्त करते हैं एक्स = ए -1 बी .

ध्यान दें कि चूंकि व्युत्क्रम मैट्रिक्स केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिए पाया जा सकता है, मैट्रिक्स विधि केवल उन प्रणालियों को हल कर सकती है जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के साथ मेल खाती है... हालाँकि, सिस्टम का मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व उस स्थिति में भी संभव है जब समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर नहीं होती है, तो मैट्रिक्स एवर्गाकार नहीं होगा और इसलिए सिस्टम का समाधान फॉर्म में खोजना असंभव है एक्स = ए -1 बी.

उदाहरण।समीकरणों की प्रणालियों को हल करें।

क्रैमेरा का नियम

तीन अज्ञात के साथ 3 रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

सिस्टम के मैट्रिक्स के अनुरूप तीसरे क्रम का निर्धारक, अर्थात। अज्ञात के साथ गुणांक से बना,

बुलाया प्रणाली निर्धारक.

आइए तीन और निर्धारकों की रचना इस प्रकार करें: निर्धारक डी में क्रमिक रूप से 1, 2 और 3 कॉलम को मुक्त सदस्यों के कॉलम से बदलें

तब निम्नलिखित परिणाम सिद्ध किया जा सकता है।

प्रमेय (क्रैमर का नियम)।यदि प्रणाली का निर्धारक 0 है, तो विचाराधीन प्रणाली का एक और केवल एक ही समाधान है, और

सबूत... तो, आइए तीन अज्ञात के साथ 3 समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें। आइए प्रणाली के पहले समीकरण को बीजीय पूरक से गुणा करें ए 11तत्त्व एक 11, दूसरा समीकरण - पर ए 21और तीसरा - पर ए 31:

आइए इन समीकरणों को जोड़ें:

आइए प्रत्येक कोष्ठक और इस समीकरण के दाईं ओर देखें। पहले कॉलम के तत्वों के संदर्भ में निर्धारक के विस्तार पर प्रमेय द्वारा

इसी तरह, कोई यह दिखा सकता है और।

अंत में, यह देखना आसान है कि

इस प्रकार, हम समानता प्राप्त करते हैं:।

अत, ।

समानताएं और एक समान तरीके से व्युत्पन्न होती हैं, जहां से प्रमेय का अभिकथन इस प्रकार है।

इस प्रकार, हम देखते हैं कि यदि निकाय का सारणिक 0 है, तो निकाय का एक अद्वितीय हल है और इसके विपरीत। यदि निकाय का सारणिक शून्य के बराबर है, तो निकाय के पास या तो समाधानों का अनंत समुच्चय है, या कोई समाधान नहीं है, अर्थात। असंगत।

उदाहरण।समीकरणों की प्रणाली को हल करें

गॉस विधि

पहले मानी गई विधियों का उपयोग केवल उन प्रणालियों को हल करने के लिए किया जा सकता है जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के साथ मेल खाती है, और सिस्टम का निर्धारक गैर-शून्य होना चाहिए। गॉस की विधि अधिक सार्वभौमिक है और किसी भी समीकरण वाले सिस्टम के लिए उपयुक्त है। इसमें सिस्टम के समीकरणों से अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन शामिल हैं।

तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली पर फिर से विचार करें:

.

हम पहले समीकरण को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं, और दूसरे और तीसरे से हम शब्दों को शामिल नहीं करते हैं एक्स 1... इसके लिए हम दूसरे समीकरण को से भाग देते हैं ए 21 और गुणा करें - ए 11 और फिर इसे पहले समीकरण में जोड़ें। इसी तरह, हम तीसरे समीकरण को से विभाजित करते हैं ए 31 और गुणा करें - ए 11, और फिर पहले में जोड़ें। परिणामस्वरूप, मूल प्रणाली का रूप ले लेगा:

अब हम अंतिम समीकरण से उस पद को हटा देते हैं जिसमें एक्स 2... ऐसा करने के लिए, तीसरे समीकरण को इससे विभाजित करें, गुणा करें और दूसरे में जोड़ें। तब हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली होगी:

इसलिए, अंतिम समीकरण से इसे खोजना आसान है एक्स 3, फिर दूसरे समीकरण से एक्स 2और अंत में 1 से - एक्स 1.

गाऊसी पद्धति का उपयोग करते समय, समीकरणों को आवश्यकतानुसार बदला जा सकता है।

अक्सर, समीकरणों की एक नई प्रणाली लिखने के बजाय, वे खुद को सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखने तक ही सीमित रखते हैं:

और फिर प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे त्रिकोणीय या विकर्ण रूप में लाएं।

प्रति प्राथमिक परिवर्तनमैट्रिक्स में निम्नलिखित परिवर्तन शामिल हैं:

1. पंक्तियों या स्तंभों की पुनर्व्यवस्था;
2. एक स्ट्रिंग को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करना;
3. अन्य पंक्तियों को एक पंक्ति में जोड़ना।

उदाहरण:गाऊसी पद्धति का उपयोग करके समीकरणों के सिस्टम को हल करें।

इस प्रकार, सिस्टम के पास अनंत संख्या में समाधान हैं।

अनुकूलता के लिए रैखिक आयु समीकरणों (एसएलएई) की एक प्रणाली की जांच करने का मतलब यह पता लगाना है कि इस प्रणाली में समाधान हैं या नहीं। ठीक है, अगर समाधान हैं, तो बताएं कि कितने हैं।

हमें "रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली। मूल शब्द। मैट्रिक्स नोटेशन" विषय से जानकारी चाहिए। विशेष रूप से, हमें सिस्टम के मैट्रिक्स और सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स जैसी अवधारणाओं की आवश्यकता है, क्योंकि यह उन पर है कि क्रोनकर-कैपेली प्रमेय का निर्माण आधारित है। हमेशा की तरह, सिस्टम के मैट्रिक्स को अक्षर $ A $ और सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को अक्षर $ \ widetilde (A) $ द्वारा दर्शाया जाएगा।

क्रोनकर-कैपेली प्रमेय

रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली सुसंगत है यदि और केवल यदि सिस्टम के मैट्रिक्स का रैंक सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक के बराबर है, अर्थात। $ \ रंग ए = \ रंग \ वाइडटिल्ड (ए) $।

मैं आपको याद दिला दूं कि एक प्रणाली को संयुक्त कहा जाता है यदि उसके पास कम से कम एक समाधान है। क्रोनकर-कैपेली प्रमेय निम्नलिखित कहता है: यदि $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A) $, तो एक समाधान है; अगर $ \ rang A \ neq \ rang \ widetilde (A) $, तो इस SLAE का कोई समाधान नहीं है (असंगत)। इन समाधानों की संख्या के बारे में प्रश्न का उत्तर क्रोनकर-कैपेली प्रमेय के एक परिणाम द्वारा दिया गया है। उपफल के निरूपण में $n$ अक्षर का प्रयोग किया जाता है, जो दिए गए SLAE के चरों की संख्या के बराबर होता है।

क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय से कोरोलरी

1. यदि $ \ rang A \ neq \ rang \ widetilde (A) $, तो SLAE असंगत है (इसका कोई समाधान नहीं है)।
2. यदि $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. यदि $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A) = n $, तो SLAE निश्चित है (बिल्कुल एक समाधान है)।

ध्यान दें कि उपरोक्त प्रमेय और इसके परिणाम यह नहीं दर्शाते हैं कि SLAE का हल कैसे खोजा जाए। इनकी सहायता से ही यह पता लगाया जा सकता है कि ये समाधान मौजूद हैं या नहीं और यदि हैं तो कितने हैं।

उदाहरण 1

SLAE $ \ बाएँ \ (\ प्रारंभ (गठबंधन) और -3x_1 + 9x_2-7x_3 = 17; \\ & -x_1 + 2x_2-4x_3 = 9; \\ और 4x_1-2x_2 + 19x_3 = -42 का अन्वेषण करें। \ अंत (गठबंधन) ) \ सही। $ संगतता के लिए यदि SLAE संगत है, तो समाधानों की संख्या इंगित करें।

किसी दिए गए SLAE के समाधान के अस्तित्व का पता लगाने के लिए, हम क्रोनकर-कैपेली प्रमेय का उपयोग करते हैं। हमें सिस्टम के मैट्रिक्स $ A $ और सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स $ \ widetilde (A) $ की आवश्यकता है, हम उन्हें लिखते हैं:

$$ ए = \ बाएं (\ प्रारंभ (सरणी) (सीसीसी) -3 और 9 और -7 \\ -1 और 2 और -4 \\ 4 और -2 और 19 \ अंत (सरणी) \ दाएं); \; \ वाइडटिल्ड (ए) = \ बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसी | सी) -3 और 9 और -7 और 17 \\ -1 और 2 और -4 और 9 \\ 4 और -2 और 19 और -42 \ अंत (सरणी) \ दाएं)। $$

$ \ rang A $ और $ \ rang \ widetilde (A) $ खोजें। ऐसा करने के कई तरीके हैं, जिनमें से कुछ मैट्रिक्स रैंक अनुभाग में सूचीबद्ध हैं। आमतौर पर, ऐसी प्रणालियों का अध्ययन करने के लिए दो विधियों का उपयोग किया जाता है: "परिभाषा द्वारा मैट्रिक्स के रैंक की गणना" या "प्राथमिक परिवर्तनों की विधि द्वारा मैट्रिक्स के रैंक की गणना"।

विधि संख्या 1। परिभाषा के अनुसार रैंकों की गणना।

परिभाषा के अनुसार, रैंक मैट्रिक्स नाबालिगों का उच्चतम क्रम है, जिसके बीच कम से कम एक गैर-शून्य है। आमतौर पर, अध्ययन पहले क्रम के नाबालिगों के साथ शुरू होता है, लेकिन यहां मैट्रिक्स $ ए $ के तीसरे क्रम के नाबालिग की तुरंत गणना शुरू करना अधिक सुविधाजनक है। तीसरे क्रम के अवयव विचाराधीन मैट्रिक्स के तीन पंक्तियों और तीन स्तंभों के चौराहे पर हैं। चूंकि मैट्रिक्स $ A $ में केवल 3 पंक्तियाँ और 3 कॉलम होते हैं, इसलिए मैट्रिक्स $ A $ का तीसरा ऑर्डर माइनर मैट्रिक्स $ A $ का निर्धारक होता है, अर्थात। $ \ डेल्टा ए $। निर्धारक की गणना करने के लिए, "दूसरे और तीसरे क्रम के निर्धारकों की गणना के लिए सूत्र" विषय से सूत्र # 2 लागू करें:

$$ \ डेल्टा ए = \ बाएं | \ start (सरणी) (सीसीसी) -3 और 9 और -7 \\ -1 और 2 और -4 \\ 4 और -2 और 19 \ अंत (सरणी) \ दाएं | = -21। $$

तो, मैट्रिक्स $ A $ का एक तीसरा-क्रम नाबालिग है, जो शून्य के बराबर नहीं है। चौथे क्रम के नाबालिग की रचना करना असंभव है, क्योंकि इसके लिए 4 पंक्तियों और 4 स्तंभों की आवश्यकता होती है, और $ A $ मैट्रिक्स में केवल 3 पंक्तियाँ और 3 स्तंभ होते हैं। तो, मैट्रिक्स $ A $ के नाबालिगों का उच्चतम क्रम, जिसमें कम से कम एक गैर-शून्य है, 3 के बराबर है। इसलिए, $ \ rang A = 3 $।

हमें $ \ rang \ widetilde (A) $ भी खोजने की आवश्यकता है। आइए मैट्रिक्स $ \ widetilde (A) $ की संरचना पर एक नज़र डालें। मैट्रिक्स $ \ वाइडटिल्ड (ए) $ में मैट्रिक्स $ ए $ के तत्व शामिल हैं, और हमने पाया कि $ \ डेल्टा ए \ neq 0 $। इसलिए, मैट्रिक्स $ \ widetilde (A) $ में एक तीसरे क्रम का माइनर है जो शून्य नहीं है। हम मैट्रिक्स $ \ widetilde (A) $ के चौथे क्रम के नाबालिगों की रचना नहीं कर सकते हैं, इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं: $ \ rang \ widetilde (A) = 3 $।

चूंकि $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A) $, क्रोनकर-कैपेली प्रमेय के अनुसार, सिस्टम सुसंगत है, अर्थात। एक समाधान है (कम से कम एक)। समाधानों की संख्या को इंगित करने के लिए, आइए ध्यान रखें कि हमारे SLAE में 3 अज्ञात हैं: $ x_1 $, $ x_2 $ और $ x_3 $। चूंकि अज्ञात की संख्या $ n = 3 $ है, हम निष्कर्ष निकालते हैं: $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A) = n $, इसलिए, क्रोनकर-कैपेली प्रमेय से कोरोलरी के अनुसार, सिस्टम निश्चित है, अर्थात। केवल एक ही उपाय है।

समस्या सुलझा ली गई है। इस पद्धति के नुकसान और फायदे क्या हैं? सबसे पहले, पेशेवरों के बारे में बात करते हैं। सबसे पहले, हमें केवल एक निर्धारक खोजने की जरूरत है। उसके बाद, हमने तुरंत समाधानों की संख्या के बारे में निष्कर्ष निकाला। आमतौर पर, मानक मानक गणनाओं में, समीकरणों की प्रणाली दी जाती है जिसमें तीन अज्ञात होते हैं और एक अद्वितीय समाधान होता है। ऐसी प्रणालियों के लिए यह विधियह बहुत सुविधाजनक है, क्योंकि हम पहले से जानते हैं कि एक समाधान है (अन्यथा एक विशिष्ट गणना में कोई उदाहरण नहीं होगा)। वे। हमें केवल सबसे अधिक के समाधान की उपस्थिति दिखानी है तेज़ तरीका... दूसरे, सिस्टम के मैट्रिक्स के निर्धारक का परिकलित मान (अर्थात, $ \ Delta A $) तब काम आएगा: जब हम दिए गए सिस्टम को Cramer विधि द्वारा या व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके हल करना शुरू करते हैं।

हालाँकि, रैंक की गणना करने की विधि परिभाषा के अनुसार अवांछनीय है यदि सिस्टम $ A $ का मैट्रिक्स आयताकार है। इस मामले में, दूसरी विधि का उपयोग करना बेहतर है, जिसके बारे में नीचे चर्चा की जाएगी। इसके अलावा, यदि $\ Delta A = 0 $, तो हम किसी दिए गए अमानवीय SLAE के समाधानों की संख्या के बारे में कुछ नहीं कह सकते हैं। हो सकता है कि SLAE के पास अनंत संख्या में समाधान हों, या शायद कोई नहीं। यदि $\ Delta A = 0 $ है, तो अतिरिक्त शोध की आवश्यकता है, जो अक्सर बोझिल होता है।

जो कहा गया है उसका सारांश देते हुए, मैं ध्यान देता हूं कि पहली विधि उन SLAE के लिए अच्छी है जिसमें सिस्टम का मैट्रिक्स वर्गाकार है। इस मामले में, SLAE में ही तीन या चार अज्ञात होते हैं और इसे मानक विशिष्ट गणनाओं या नियंत्रण कार्यों से लिया जाता है।

विधि संख्या 2। प्राथमिक परिवर्तनों की विधि द्वारा रैंक की गणना।

संबंधित विषय में इस विधि का विस्तार से वर्णन किया गया है। हम मैट्रिक्स $ \ widetilde (A) $ के रैंक की गणना करना शुरू करेंगे। क्यों बिल्कुल मैट्रिसेस $ \ वाइडटिल्ड (ए) $ और $ ए $ नहीं? तथ्य यह है कि मैट्रिक्स $ ए $ मैट्रिक्स $ \ वाइडटिल्ड (ए) $ का एक हिस्सा है, इसलिए, मैट्रिक्स $ \ वाइडटिल्ड (ए) $ के रैंक की गणना करते हुए, हम एक साथ मैट्रिक्स $ ए की रैंक पाएंगे। $.

\ start (गठबंधन) और \ वाइडटिल्ड (ए) = \ बाएं (\ प्रारंभ (सरणी) (सीसीसी | सी) -3 और 9 और -7 और 17 \\ -1 और 2 और -4 और 9 \\ 4 और - 2 और 19 और -42 \ अंत (सरणी) \ दाएँ) \ दाएँ तीर \ बाएँ | \ पाठ (पहली और दूसरी पंक्तियों को स्वैप करें) \ दाएँ | \ दायां तीर \\ और \ दायां तीर \ बाएं (\ प्रारंभ (सरणी) (सीसीसी | सी) -1 और 2 और -4 और 9 \\ -3 और 9 और -7 और 17 \\ 4 और -2 और 1 9 और - 42 \ अंत (सरणी) \ दाएं) \ प्रारंभ (सरणी) (एल) \ प्रेत (0) \\ r_2-3r_1 \\ r_3 + 4r_1 \ अंत (सरणी) \ दायां तीर \ बाएं (\ प्रारंभ (सरणी) (सीसीसी | सी) -1 और 2 और -4 और 9 \\ 0 और 3 और 5 और -10 \\ 0 और 6 और 3 और -6 \ अंत (सरणी) \ दाएं) \ प्रारंभ (सरणी) (एल) \ प्रेत ( 0 ) \\ \ प्रेत (0) \\ r_3-2r_2 \ अंत (सरणी) \ दायां तीर \\ और \ दायां तीर \ बाएं (\ प्रारंभ (सरणी) (सीसीसी | सी) -1 और 2 और -4 और 9 \\ 0 और 3 और 5 और -10 \\ 0 और 0 और -7 और 14 \ अंत (सरणी) \ दाएं) \ अंत (गठबंधन)

हमने मैट्रिक्स $ \ widetilde (A) $ को स्टेप्ड फॉर्म में बदल दिया है। परिणामी चरणबद्ध मैट्रिक्स में तीन गैर-शून्य पंक्तियाँ होती हैं, इसलिए इसकी रैंक 3 होती है। इसलिए, मैट्रिक्स $ \ widetilde (A) $ की रैंक 3 है, अर्थात, $ \ रंग \ वाइडटिल्ड (ए) = 3 $। मैट्रिक्स $ \ वाइडटिल्ड (ए) $ के तत्वों के साथ परिवर्तन करते हुए, हमने एक साथ लाइन तक स्थित मैट्रिक्स $ ए $ के तत्वों को बदल दिया। मैट्रिक्स $ ए $ भी कदम रखा गया है: $ \ बाएं (\ प्रारंभ (सरणी) (सीसीसी) -1 और 2 और -4 \\ 0 और 3 और 5 \\ 0 और 0 और -7 \ अंत (सरणी) \ दाएं) $. निष्कर्ष: मैट्रिक्स $ A $ की रैंक भी 3 के बराबर है, अर्थात। $ \ रंग ए = 3 $।

चूंकि $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A) $, क्रोनकर-कैपेली प्रमेय के अनुसार, सिस्टम सुसंगत है, अर्थात। एक समाधान है। समाधानों की संख्या को इंगित करने के लिए, आइए ध्यान रखें कि हमारे SLAE में 3 अज्ञात हैं: $ x_1 $, $ x_2 $ और $ x_3 $। चूंकि अज्ञात की संख्या $ n = 3 $ है, इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं: $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A) = n $, इसलिए, क्रोनकर-कैपेली प्रमेय से कोरोलरी के अनुसार, सिस्टम को परिभाषित किया गया है, अर्थात। केवल एक ही उपाय है।

दूसरी विधि के क्या फायदे हैं? मुख्य लाभ इसकी बहुमुखी प्रतिभा है। यह हमारे लिए बिल्कुल भी मायने नहीं रखता है कि सिस्टम का मैट्रिक्स वर्गाकार है या नहीं। इसके अलावा, हमने वास्तव में गॉस पद्धति के आगे के पाठ्यक्रम के परिवर्तन किए। केवल कुछ ही कार्य शेष हैं, और हम इस SLAE का समाधान प्राप्त कर सकते हैं। सच कहूं, तो मुझे पहली की तुलना में दूसरी विधि अधिक पसंद है, लेकिन चुनाव स्वाद का मामला है।

उत्तर: दिया गया SLAE सुसंगत और परिभाषित है।

उदाहरण संख्या 2

SLAE $ \ बाएँ \ (\ प्रारंभ (गठबंधन) और x_1-x_2 + 2x_3 = -1; \\ & -x_1 + 2x_2-3x_3 = 3; \\ और 2x_1-x_2 + 3x_3 = 2; \\ और 3x_1- का अन्वेषण करें। 2x_2 + 5x_3 = 1; \\ और 2x_1-3x_2 + 5x_3 = -4. \ अंत (गठबंधन) \ सही। $ संगतता के लिए।

हम प्राथमिक परिवर्तनों की विधि द्वारा सिस्टम के मैट्रिक्स और सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक पाएंगे। विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्स: $ \ वाइडटिल्ड (ए) = \ बाएं (\ प्रारंभ (सरणी) (सीसीसी | सी) 1 और -1 और 2 और -1 \\ -1 और 2 और -3 और 3 \\ 2 और -1 और 3 और 2 \\ 3 और -2 और 5 और 1 \\ 2 और -3 और 5 और -4 \ अंत (सरणी) \ दाएं) $। सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को बदलकर आवश्यक रैंक खोजें:

$$ \ बाएँ (\ start (सरणी) (ccc | c) 1 & -1 & 2 & -1 \\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \\ 3 & -2 और 5 और 1 \\ 2 और -1 और 3 और 2 \ अंत (सरणी) \ दाएं) \ प्रारंभ (सरणी) (एल) \ प्रेत (0) \\ r_2 + r_1 \\ r_3-2r_1 \\ r_4 -3r_1 \\ r_5-2r_1 \ अंत (सरणी) \ दायां तीर \ बाएं (\ प्रारंभ (सरणी) (सीसीसी | सी) 1 और -1 और 2 और -1 \\ 0 और 1 और -1 और 2 \\ 0 & -1 और 1 और -2 \\ 0 और 1 और -1 और 4 \\ 0 और 1 और -1 और 4 \ अंत (सरणी) \ दाएं) \ प्रारंभ (सरणी) (एल) \ प्रेत (0) \\ \ प्रेत (0) \\ r_3-r_2 \\ r_4-r_2 \\ r_5 + r_2 \ अंत (सरणी) \ दायां तीर \\ $$ $$ \ दायां तीर \ बाएं (\ प्रारंभ (सरणी) (सीसीसी | सी) 1 & -1 और 2 और -1 \\ 0 और 1 और -1 और 2 \\ 0 और 0 और 0 और 2 \\ 0 और 0 और 0 और 2 \\ 0 और 0 और 0 और 0 \ अंत (सरणी) \ दाएं) \ प्रारंभ (सरणी) (एल) \ प्रेत (0) \\\ प्रेत (0) \\\ प्रेत (0) \\ r_4-r_3 \\\ प्रेत (0) \ अंत (सरणी) \ दायां तीर \ बाएं (\ start (सरणी) (ccc | c) 1 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 और 0 और 0 और 0 \ अंत (सरणी) \ दाएं) $$

विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्स को चरणबद्ध किया गया है। एक चरणबद्ध मैट्रिक्स की रैंक इसकी गैर-शून्य पंक्तियों की संख्या के बराबर होती है, इसलिए $ \ rang \ widetilde (A) = 3 $। मैट्रिक्स $ A $ (बिंदु तक) को भी एक चरणबद्ध रूप में घटाया गया है, और इसकी रैंक 2, $ \ rang (A) = 2 $ है।

चूंकि $ \ rang A \ neq \ rang \ widetilde (A) $, क्रोनकर-कैपेली प्रमेय के अनुसार, सिस्टम असंगत है (यानी, कोई समाधान नहीं है)।

उत्तर: प्रणाली असंगत है।

उदाहरण संख्या 3

SLAE $ \ बाएँ \ (\ प्रारंभ (गठबंधन) और 2x_1 + 7x_3-5x_4 + 11x_5 = 42; \\ और x_1-2x_2 + 3x_3 + 2x_5 = 17; \\ और -3x_1 + 9x_2-11x_3-7x_5 = -64 का अन्वेषण करें ; \\ और -5x_1 + 17x_2-16x_3-5x_4-4x_5 = -90; \\ और 7x_1-17x_2 + 23x_3 + 15x_5 = 132. \ अंत (गठबंधन) \ सही। $ संगतता के लिए।

हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को चरणबद्ध रूप में लाते हैं:

$$ \ बाएँ (\ start (सरणी) (ccccc | c) 2 और 0 और 7 और -5 और 11 और 42 \\ 1 और -2 और 3 और 0 और 2 और 17 \\ -3 और 9 और -11 और 0 और -7 और -64 \\ -5 और 17 और -16 और -5 और -4 और -90 \\ 7 और -17 और 23 और 0 और 15 और 132 \ अंत (सरणी) \ दाएं) \ overset (r_1 \ leftrightarrow (r_3)) (\ rightarrow) $$ $$ \ rightarrow \ left (\ start (सरणी) (ccccc | c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ 2 & 0 & 7 और -5 और 11 और 42 \\ -3 और 9 और -11 और 0 और -7 और -64 \\ -5 और 17 और -16 और -5 और -4 और -90 \\ 7 और -17 और 23 & 0 और 15 और 132 \ अंत (सरणी) \ दाएं) \ प्रारंभ (सरणी) (एल) \ प्रेत (0) \\ r_2-2r_1 \\ r_3 + 3r_1 \\ r_4 + 5r_1 \\ r_5-7r_1 \ अंत ( सरणी) \ दायां तीर \ बाएं (\ प्रारंभ (सरणी) (सीसीसीसी | सी) 1 और -2 और 3 और 0 और 2 और 17 \\ 0 और 4 और 1 और -5 और 7 और 8 \\ 0 और 3 और - 2 और 0 और -1 और -13 \\ 0 और 7 और -1 और -5 और 6 और -5 \\ 0 और -3 और 2 और 0 और 1 और 13 \ अंत (सरणी) \ दाएं) \ शुरू ( सरणी) (एल) \ प्रेत (0) \\ \ प्रेत (0) \\ 4r_3 + 3r_2 \\ 4r_4-7r_2 \\ 4r_5 + 3r_2 \ अंत (सरणी) \ दायां तीर $$ \ दायां तीर \ बाएं (\ प्रारंभ (सरणी) ) (सीसीसीसी | सी) 1 और -2 और 3 और 0 और 2 और 17 \\ 0 और 4 और 1 और -5 और 7 और 8 \\ 0 और 0 और -11 और 15 और -25 और -76 \\ 0 और 0 और -11 और 15 और -25 और -76 \\ 0 और 0 और 11 और -15 और 25 और 76 \ अंत (सरणी) \ दाएं) \ प्रारंभ (सरणी) (एल) \ प्रेत (0) \\ \ प्रेत (0) \\\ प्रेत (0) \\ r_4 -r_3 \\ r_5 + r_2 \ अंत (सरणी) \ दायां तीर \ बाएं (\ प्रारंभ (सरणी) (सीसीसीसी | सी) 1 और -2 और 3 और 0 और 2 और 17 \\ 0 और 4 और 1 और -5 & 7 और 8 \\ 0 और 0 और -11 और 15 और -25 और -76 \\ 0 और 0 और 0 और 0 और 0 \\ 0 और 0 और 0 और 0 और 0 और 0 \ अंत (सरणी) \ दाएं) $$

हम विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्स और सिस्टम मैट्रिक्स को एक चरणबद्ध रूप में लाए हैं। सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स का रैंक तीन है, सिस्टम के मैट्रिक्स का रैंक भी तीन है। चूंकि सिस्टम में $ n = 5 $ अज्ञात हैं, अर्थात। $ \ rang \ widetilde (A) = \ rang (A) \ lt (n) $, फिर, क्रोनकर-कैपेली प्रमेय के परिणाम के अनुसार, यह प्रणाली अपरिभाषित है, अर्थात। समाधान की अनंत संख्या है।

उत्तर: सिस्टम अपरिभाषित है।

दूसरे भाग में, हम उन उदाहरणों का विश्लेषण करेंगे जो अक्सर उच्च गणित में विशिष्ट गणनाओं या परीक्षणों में शामिल होते हैं: एक संगतता अध्ययन और इसमें शामिल मापदंडों के मूल्यों के आधार पर एक SLAE का समाधान।

उदाहरण 1... प्रणाली के लिए एक सामान्य समाधान और कुछ विशेष समाधान खोजें

समाधानहम एक कैलकुलेटर की मदद से करते हैं। आइए विस्तारित और बुनियादी मैट्रिक्स लिखें:

बिंदीदार रेखा मुख्य मैट्रिक्स ए को अलग करती है। ऊपर हम अज्ञात सिस्टम लिखते हैं, सिस्टम के समीकरणों में शर्तों की संभावित पुनर्व्यवस्था को ध्यान में रखते हुए। विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक निर्धारित करते हुए, हम एक साथ रैंक और मुख्य पाते हैं। मैट्रिक्स बी में, पहले और दूसरे कॉलम आनुपातिक हैं। दो आनुपातिक स्तंभों में से, केवल एक मूल नाबालिग में गिर सकता है, इसलिए हम स्थानांतरित करते हैं, उदाहरण के लिए, विपरीत चिह्न के साथ धराशायी रेखा के पीछे पहला स्तंभ। सिस्टम के लिए, इसका मतलब है कि शर्तों को x 1 से समीकरणों के दाईं ओर ले जाना।

आइए मैट्रिक्स को त्रिकोणीय रूप में लाएं। हम केवल पंक्तियों के साथ काम करेंगे, क्योंकि मैट्रिक्स की एक पंक्ति को शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या से गुणा करना और सिस्टम के लिए दूसरी पंक्ति में जोड़ने का अर्थ है समीकरण को उसी संख्या से गुणा करना और इसे किसी अन्य समीकरण के साथ जोड़ना, जो समाधान नहीं बदलता है प्रणाली। हम पहली पंक्ति के साथ काम करते हैं: मैट्रिक्स की पहली पंक्ति को (-3) से गुणा करें और बदले में दूसरी और तीसरी पंक्तियों में जोड़ें। फिर हम पहली पंक्ति को (-2) से गुणा करते हैं और चौथे में जोड़ते हैं।

दूसरी और तीसरी पंक्तियाँ आनुपातिक हैं, इसलिए उनमें से एक, उदाहरण के लिए दूसरी, को पार किया जा सकता है। यह सिस्टम के दूसरे समीकरण को हटाने के समान है, क्योंकि यह तीसरे का परिणाम है।

अब हम दूसरी पंक्ति के साथ काम कर रहे हैं: इसे (-1) से गुणा करें और तीसरी में जोड़ें।

धराशायी नाबालिग का उच्चतम क्रम (संभावित नाबालिगों का) है और गैर-शून्य है (यह मुख्य विकर्ण पर तत्वों के उत्पाद के बराबर है), और यह नाबालिग मुख्य मैट्रिक्स और विस्तारित दोनों से संबंधित है, इसलिए, रंगा = रंगबी = 3.
अवयस्क बुनियादी है। इसमें अज्ञात x 2, x 3, x 4 के गुणांक शामिल हैं, जिसका अर्थ है कि अज्ञात x 2, x 3, x 4 आश्रित हैं, और x 1, x 5 मुक्त हैं।
हम मैट्रिक्स को रूपांतरित करते हैं, बाईं ओर केवल बेस माइनर छोड़ते हैं (जो उपरोक्त समाधान एल्गोरिथ्म के बिंदु 4 से मेल खाती है)।

इस मैट्रिक्स के गुणांक वाली प्रणाली मूल प्रणाली के बराबर है और इसका रूप है

अज्ञात को समाप्त करने की विधि का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं:
x 4 = 3-4x 5, x 3 = 3-4x 5 -2x 4 = 3-4x 5 -6 + 8x 5 = -3 + 4x 5
x 2 = x 3 + 2x 4 -2 + 2x 1 + 3x 5 = -3 + 4x 5 + 6-8x 5 -2 + 2x 1 + 3x 5 = 1 + 2x 1 -x 5
हमें स्वतंत्र x 1 और x 5 के माध्यम से आश्रित चर x 2, x 3, x 4 को व्यक्त करने वाले अनुपात प्राप्त हुए, अर्थात, हमें एक सामान्य समाधान मिला:

मुक्त अज्ञात को कोई मान निर्दिष्ट करके, हम किसी भी विशेष समाधान प्राप्त करते हैं। आइए दो विशेष समाधान खोजें:
1) मान लीजिए x 1 = x 5 = 0, फिर x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) x 1 = 1, x 5 = -1, फिर x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7 रखें।
इस प्रकार, हमें दो समाधान मिले: (0.1, -3.3.0) - एक समाधान, (1.4, -7.7, -1) - दूसरा समाधान।

उदाहरण 2... संगतता की जांच करें, सिस्टम के लिए एक सामान्य और एक विशेष समाधान खोजें

समाधान... हम पहले और दूसरे समीकरणों को पहले समीकरण में एकता रखने के लिए पुनर्व्यवस्थित करते हैं और मैट्रिक्स बी लिखते हैं।

हम चौथे कॉलम में शून्य प्राप्त करते हैं, पहली पंक्ति पर काम करते हुए:

अब हम दूसरी पंक्ति का उपयोग करके तीसरे कॉलम में शून्य प्राप्त करते हैं:

तीसरी और चौथी पंक्तियाँ आनुपातिक हैं, इसलिए उनमें से एक को बिना रैंक बदले पार किया जा सकता है:
हम तीसरी पंक्ति को (-2) से गुणा करते हैं और चौथे में जोड़ते हैं:

हम देखते हैं कि मुख्य और विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक 4 के बराबर है, और रैंक अज्ञात की संख्या के साथ मेल खाती है, इसलिए, सिस्टम का एक अनूठा समाधान है:
-x 1 = -3 → x 1 = 3; x 2 = 3-x 1 → x 2 = 0; x 3 = 1-2x 1 → x 3 = 5।
x 4 = 10 - 3x 1 - 3x 2 - 2x 3 = 11.

उदाहरण 3... संगतता के लिए सिस्टम की जांच करें और यदि मौजूद है तो समाधान खोजें।

समाधान... हम सिस्टम के एक विस्तारित मैट्रिक्स की रचना करते हैं।

हम पहले दो समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं ताकि ऊपरी बाएँ कोने में 1 हो:
पहली पंक्ति को (-1) से गुणा करते हुए, इसे तीसरे में जोड़ें:

दूसरी पंक्ति को (-2) से गुणा करें और तीसरी पंक्ति में जोड़ें:

प्रणाली असंगत है, क्योंकि मुख्य मैट्रिक्स में हमें शून्य से मिलकर एक पंक्ति मिलती है, जिसे रैंक मिलने पर पार किया जाता है, और विस्तारित मैट्रिक्स में अंतिम पंक्ति बनी रहेगी, अर्थात r B> r A।

व्यायाम... स्थिरता के लिए समीकरणों की इस प्रणाली की जांच करें और मैट्रिक्स कैलकुस का उपयोग करके इसे हल करें।
समाधान

उदाहरण... रैखिक समीकरणों की प्रणाली की संगतता साबित करें और इसे दो तरीकों से हल करें: 1) गॉस विधि; 2) क्रेमर की विधि। (उत्तर फॉर्म में दर्ज करें: x1, x2, x3)
समाधान: डॉक्टर: डॉक्टर: xls
उत्तर: 2,-1,3.

उदाहरण... रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है। इसकी अनुकूलता सिद्ध कीजिए। सिस्टम का एक सामान्य समाधान और एक विशेष समाधान खोजें।
समाधान
उत्तर:एक्स 3 = - 1 + एक्स 4 + एक्स 5; एक्स 2 = 1 - एक्स 4; एक्स 1 = 2 + एक्स 4 - 3x 5

व्यायाम... प्रत्येक प्रणाली के लिए सामान्य और विशिष्ट समाधान खोजें।
समाधान।आइए हम क्रोनकर-कैपेली प्रमेय का उपयोग करके इस प्रणाली की जांच करें।
आइए विस्तारित और बुनियादी मैट्रिक्स लिखें:

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
एक्स 1	एक्स 2	एक्स 3	एक्स 4	एक्स 5

यहाँ मैट्रिक्स A बोल्ड है।
आइए मैट्रिक्स को त्रिकोणीय रूप में लाएं। हम केवल पंक्तियों के साथ काम करेंगे, क्योंकि मैट्रिक्स की एक पंक्ति को शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या से गुणा करना और सिस्टम के लिए दूसरी पंक्ति में जोड़ने का अर्थ है समीकरण को उसी संख्या से गुणा करना और इसे किसी अन्य समीकरण के साथ जोड़ना, जो समाधान नहीं बदलता है प्रणाली।
पहली पंक्ति को (3) से गुणा करें। दूसरी पंक्ति को (-1) से गुणा करें। आइए दूसरी पंक्ति को पहली में जोड़ें:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

दूसरी पंक्ति को (2) से गुणा करें। तीसरी पंक्ति को (-3) से गुणा करें। आइए तीसरी पंक्ति को दूसरी में जोड़ें:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

दूसरी पंक्ति को (-1) से गुणा करें। आइए दूसरी पंक्ति को पहली में जोड़ें:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

हाइलाइट किए गए नाबालिग का उच्चतम क्रम (संभावित नाबालिगों का) है और गैर-शून्य है (यह रिवर्स विकर्ण पर तत्वों के उत्पाद के बराबर है), और यह नाबालिग मुख्य मैट्रिक्स और विस्तारित दोनों से संबंधित है, इसलिए, रंगा ( ए) = रंग (बी) = 3। चूंकि मुख्य मैट्रिक्स की रैंक विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक के बराबर है, तो प्रणाली एक संयुक्त है.
यह नाबालिग बुनियादी है। इसमें अज्ञात x 1, x 2, x 3 के गुणांक शामिल हैं, जिसका अर्थ है कि अज्ञात x 1, x 2, x 3 आश्रित (मूल) हैं, और x 4, x 5 मुक्त हैं।
हम मैट्रिक्स को रूपांतरित करते हैं, बाईं ओर केवल बेस माइनर छोड़ते हैं।

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
एक्स 1	एक्स 2	एक्स 3		एक्स 4	एक्स 5

इस मैट्रिक्स के गुणांक वाली प्रणाली मूल प्रणाली के बराबर है और इसका रूप है:
27x 3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
अज्ञात को समाप्त करने की विधि का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं:
हमने स्वतंत्र x 4, x 5 के माध्यम से आश्रित चर x 1, x 2, x 3 को व्यक्त करने वाले संबंध प्राप्त किए, अर्थात हमने पाया सामान्य निर्णय:
एक्स 3 = 0
एक्स 2 = 1 - 3x 4 + 6x 5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
अपरिभाषितजबसे एक से अधिक समाधान हैं।

व्यायाम... समीकरणों की प्रणाली को हल करें।
उत्तर: x 2 = 2 - 1.67x 3 + 0.67x 4
x 1 = 5 - 3.67x 3 + 0.67x 4
मुक्त अज्ञात को कोई मान निर्दिष्ट करके, हम किसी भी विशेष समाधान प्राप्त करते हैं। प्रणाली है अपरिभाषित