Medzi obrovským počtom stereometrických problémov v učebniciach geometrie, v rôznych súboroch problémov, v školiacich príručkách pre univerzity sú úlohy na nájdenie vzdialenosti medzi križovaním priamych čiar extrémne zriedkavé. Možno je to kvôli zúženosti ich praktického uplatnenia (vzhľadom na školské osnovy, na rozdiel od „víťazných“ problémov pri výpočte plôch a objemov) a zložitosti tejto témy.
Prax POUŽITIA ukazuje, že mnohí študenti vôbec nezačínajú dokončovať úlohy z geometrie, ktoré sú súčasťou písomky. Na zabezpečenie úspešného dokončenia geometrických úloh so zvýšenou komplexnosťou je potrebné vyvinúť flexibilitu myslenia, schopnosť analyzovať očakávanú konfiguráciu a izolovať v nej časti, ktorých zváženie vám umožní nájsť spôsob, ako vyriešiť problém.
Školský kurz zahŕňa štúdium štyroch spôsobov riešenia problémov s cieľom nájsť vzdialenosť medzi križovaním priamych čiar. Voľba metódy je v prvom rade daná zvláštnosťami konkrétnej úlohy, možnosťami voľby, ktoré poskytuje, a za druhé, schopnosťami a charakteristikami „priestorového myslenia“ konkrétneho študenta. Každá z týchto metód vám umožňuje vyriešiť najdôležitejšiu časť problému - konštrukciu segmentu kolmého na obe pretínajúce sa priamky (pre výpočtovú časť problémov nie je potrebné rozdelenie na metódy).
Hlavné metódy riešenia problémov nachádzania vzdialenosti medzi križujúcimi sa čiarami
Zistenie dĺžky spoločnej kolmice dvoch pretínajúcich sa čiar, t.j. segment s koncami na týchto čiarach a kolmými na každú z týchto čiar.
Zistenie vzdialenosti od jednej z pretínajúcich sa priamych čiar k rovine, ktorá je s ňou rovnobežná a prechádzajúcou ďalšou priamkou.
Zistenie vzdialenosti medzi dvoma rovnobežnými rovinami prechádzajúcimi danými pretínajúcimi sa čiarami.
Zistenie vzdialenosti od bodu, ktorý je priemetom jednej z križujúcich sa priamych čiar na rovinu, ktorá je na ňu kolmá (takzvaná „obrazovka“), od priemetu ďalšej priamky do tej istej roviny.
Všetky štyri metódy si ukážeme na nasledujúcich najjednoduchších úloha: „V kocke s hranou a nájdite vzdialenosť medzi ľubovoľným okrajom a uhlopriečkou, ktorá ho nepretína. "Odpoveď :.
Obrázok 1
h skr je kolmá na rovinu bočného povrchu obsahujúceho uhlopriečku d a je teda kolmá na okraj, h skr a je vzdialenosť medzi okrajom a a uhlopriečka d.
Obrázok 2
Rovina A je rovnobežná s okrajom a prechádza danou uhlopriečkou; teda danou h skr je nielen vzdialenosť od okraja k rovine A, ale aj vzdialenosť od okraja k danej uhlopriečke.
Obrázok 3
Roviny A a B sú rovnobežné a prechádzajú dvoma danými krížiacimi čiarami, preto je vzdialenosť medzi týmito rovinami rovnaká ako vzdialenosť medzi týmito dvoma krížiacimi čiarami.
Obrázok 4
Rovina A je kolmá na hranu kocky. Pri premietaní na A je uhlopriečka d táto uhlopriečka sa otočí na jednu zo strán základne kocky. Toto h skr je vzdialenosť medzi čiarou obsahujúcou okraj a priemetom uhlopriečky na rovinu C, a teda medzi čiarou obsahujúcou okraj a uhlopriečku.
Pozrime sa podrobnejšie na aplikáciu každej metódy pre polyhedróny študované v škole.
Aplikácia prvej metódy je dosť obmedzená: dobre sa používa iba pri niektorých problémoch, pretože je pomerne ťažké určiť a odôvodniť presné umiestnenie v najjednoduchších problémoch a približné umiestnenie spoločnej kolmice dvoch pretínajúcich sa čiar v komplexe jedny. Navyše pri hľadaní dĺžky tejto kolmice pri zložitých problémoch sa môže človek stretnúť s neprekonateľnými ťažkosťami.
Úloha 1. V obdĺžnikovom rovnobežnostene s rozmermi a, b, h nájdite vzdialenosť medzi bočným okrajom a uhlopriečkou základne, ktorá sa s ním nepretína.
Obrázok 5
Nechajte AHBD. Pretože A 1 A je kolmá na rovinu ABCD, potom A 1 A AH.
AH je kolmá na obidve dve krížiace čiary, preto AH? Je vzdialenosť medzi čiarami А 1 А a BD. V pravouhlom trojuholníku ABD, poznajúc dĺžky nôh AB a AD, nájdeme výšku AH pomocou vzorcov na výpočet plochy pravouhlého trojuholníka. Odpoveď: 
Úloha 2. V pravidelnej štvoruholníkovej pyramíde s bočným okrajom L a bok základne a nájdite vzdialenosť medzi apothemom a stranou základne, ktorá prechádza bočnou plochou obsahujúcou tento apothem.
Obrázok 6
SHCD ako apothem, ADCD ako ABCD je štvorec. DH je teda vzdialenosť medzi čiarami SH a AD. DH sa rovná polovici strany CD. Odpoveď:
Aplikácia tejto metódy je obmedzená aj tým, že ak dokážete rýchlo postaviť (alebo nájsť hotovú) rovinu prechádzajúcu jednou z križujúcich sa priamok rovnobežných s inou priamkou, potom postavíte kolmicu z akéhokoľvek bodu druhá priama čiara k tejto rovine (vnútri mnohostena) spôsobuje ťažkosti. Avšak v jednoduchých úlohách, kde konštrukcia (alebo nachádzanie) uvedenej kolmice nespôsobuje ťažkosti, je táto metóda najrýchlejšia a najľahšia, a preto dostupná.
Problém 2. Riešenie vyššie uvedeného problému touto metódou nespôsobuje žiadne konkrétne ťažkosti.
Obrázok 7
Rovina EFM je rovnobežná s priamkou AD, pretože s AD || EF. Priamka MF leží v tejto rovine, preto je vzdialenosť medzi čiarou AD a rovinou EFM rovnaká ako vzdialenosť medzi priamkou AD a priamkou MF. Poďme na OHAD. OHEF, OHMO, teda OH (EFM), preto OH je vzdialenosť medzi priamkou AD a rovinou EFM, a teda vzdialenosť medzi priamkou AD a priamkou MF. Nájdite OH z trojuholníka AOD.
Úloha 3. V obdĺžnikovom rovnobežnostene s rozmermi a, b a h nájdite vzdialenosť medzi bočným okrajom a uhlopriečkou rovnobežnostena, ktorá sa s ním nepretína.
Obrázok 8
Priamka AA 1 je rovnobežná s rovinou BB 1 D 1 D, B 1 D patrí do tejto roviny, preto je vzdialenosť od AA 1 k rovine BB 1 D 1 D rovná vzdialenosti medzi priamkami AA 1 a B 1 D. Nakreslime AHBD. Tiež AH B 1 B, teda AH (BB 1 D 1 D), teda AHB 1 D, to znamená, že AH je požadovaná vzdialenosť. Nájdite AH z pravouhlého trojuholníka ABD.
Odpoveď: 
Úloha 4. V pravidelnom šesťhrannom hranole A: F 1 s výškou h a bok základne a nájdite vzdialenosť medzi čiarami:
Obrázok 9 Obrázok 10
a) AA 1 a ED 1.
Uvažujme o rovine E 1 EDD 1. A 1 E 1 EE 1, A 1 E 1 E 1 D 1, preto
A 1 E 1 (E 1 EDD 1). Tiež A 1 E 1 AA 1. A 1 E 1 je teda vzdialenosť od priamky AA 1 k rovine E 1 EDD 1. ED 1 (E 1 EDD 1)., Preto AE 1 je vzdialenosť od priamky AA 1 k priamke ED 1. Nájdite A 1 E 1 z trojuholníka F 1 A 1 E 1 podľa kosínovej vety. Odpoveď:
b) AF a uhlopriečka BE 1.
Nakreslite z bodu F priamku FH kolmú na BE. EE 1 FH, FHBE, teda FH (BEE 1 B 1), preto FH je vzdialenosť medzi čiarou AF a (BEE 1 B 1), a teda vzdialenosť medzi čiarou AF a uhlopriečkou BE 1. Odpoveď:
METÓDA III
Aplikácia tejto metódy je extrémne obmedzená, pretože rovinu rovnobežnú s jednou z priamych čiar (metóda II) je možné skonštruovať jednoduchšie ako dve rovnobežné roviny, avšak metódu III je možné použiť v hranoloch, ak krížiace čiary patria rovnobežným plochám, ako aj v prípadoch, keď je mnohosten, je ľahké vytvárať rovnobežné sekcie obsahujúce dané čiary.
Úloha 4.
Obrázok 11
a) Roviny BAA 1 B 1 a DEE 1 D 1 sú rovnobežné, pretože AB || ED a AA 1 || EE 1. ED 1 DEE 1 D 1, AA 1 (BAA 1 B 1), preto je vzdialenosť medzi priamkami AA 1 a ED 1 rovnaká ako vzdialenosť medzi rovinami BAA 1 B 1 a DEE 1 D 1. A 1 E 1 AA 1, A 1 E 1 A 1 B 1, preto A 1 E 1 BAA 1 B 1. Podobným spôsobom dokážeme, že A 1 E 1 (DEE 1 D 1). A 1 E 1 je teda vzdialenosť medzi rovinami BAA 1 B 1 a DEE 1 D 1, a teda medzi priamkami AA 1 a ED 1. Nájdite A 1 E 1 z trojuholníka A 1 F 1 E 1, ktorý je rovnoramenný s uhlom A 1 F 1 E 1 rovným. Odpoveď:
Obrázok 12
b) Vzdialenosť medzi AF a uhlopriečkou BE 1 sa zistí rovnakým spôsobom.
Úloha 5. V kocke s hranou a nájdite vzdialenosť medzi dvoma nesúvislými uhlopriečkami dvoch susedných plôch.
Tento problém je v niektorých učebniciach považovaný za klasický, ale spravidla je jeho riešenie dané metódou IV, je však celkom dostupné na riešenie metódou III.
Obrázok 13
Určité ťažkosti v tomto probléme spôsobuje dôkaz kolmosti uhlopriečky A 1 C na obe rovnobežné roviny (AB 1 D 1 || BC 1 D). B 1 CBC 1 a BC 1 A 1 B 1, preto je čiara BC 1 kolmá na rovinu A 1 B 1 C, a teda BC 1 A 1 C. Tiež A 1 CBD. V dôsledku toho je priamka A 1 C kolmá na rovinu BC 1 D. Výpočtová časť problému nespôsobuje žiadne zvláštne ťažkosti, pretože h skr= EF sa zistí ako rozdiel medzi uhlopriečkou kocky a výškami dvoch rovnakých pravidelných pyramíd A 1 AB 1 D 1 a CC 1 BD.
METÓDA IV.
Táto metóda je široko používaná. Pri úlohách strednej a vysokej obtiažnosti ju možno považovať za hlavnú. Nie je potrebné ho používať iba vtedy, ak jedna z troch predchádzajúcich metód funguje jednoduchšie a rýchlejšie, pretože v takýchto prípadoch môže metóda IV iba komplikovať riešenie problému alebo sťažiť prístup. Túto metódu je veľmi výhodné použiť v prípade kolmosti križujúcich sa čiar, pretože nie je potrebné stavať projekciu jednej z čiar na „obrazovku“
L a spodná strana a.
Obrázok 16
V tomto a podobných problémoch metóda IV vedie k riešeniu rýchlejšie ako ostatné metódy, pretože zostrojením úseku, ktorý plní úlohu „obrazovky“ kolmej na AC (trojuholník BDM), je zrejmé, že ďalej nie je potrebné konštruovať. projekcia ďalšej priamky (BM) na túto obrazovku. DH je požadovaná vzdialenosť. DH sa nachádza z trojuholníkového MDB pomocou vzorcov oblastí. Odpoveď: 
.
Vzdialenosť medzi križujúcimi sa čiarami je dĺžka ich spoločnej kolmice (segment s koncami na týchto čiarach a kolmými na každú z nich). Podrobná výpočtová metóda (konštrukcia spoločnej kolmice). b ρ Príklad a
Zostrojte rovinu obsahujúcu jednu z čiar a rovnobežnú s druhou. Potom sa požadovaná vzdialenosť bude rovnať vzdialenosti od nejakého bodu druhej priamky k zostrojenej rovine (v tejto fáze môžete použiť súradnicovú metódu) Metóda rovnobežných čiar a rovín. Príklad b ρ a α A B shah.ucoz.ru/load/egeh/egeh_s2/k oordinatnyj_metod_kljuchevye_za dachi/
Zostrojte rovinu kolmú na jednu z týchto čiar a postavte na tejto rovine ortogonálny priemet ďalšej priamky. Ortogonálna metóda návrhu. Príklad b ρ а α А В Н С CB - projekcia b
Ak AB a CD prechádzajú hranami trojuholníkovej pyramídy ABCD, d je vzdialenosť medzi nimi, α je uhol medzi AB a CD, V je objem pyramídy ABCD a potom referenčný problém. Príklad B C A D Metódy zisťovania uhla medzi rovnými čiarami nájdete v:
Určte súradnice zo systému, potom nájdite Let, potom je podmienka splnená: Určte súradnice smerových vektorov a. Vektor - súradnicová metóda. Príklad B C A D Poznámka: na zaznamenanie súradníc bodov M a K použite vzorec: M K Ak AM: MB = k, potom
V pravidelnom štvoruholníkovom pyramíde SABCD, ktorého všetky hrany sa rovnajú 1, nájdite vzdialenosť medzi priamkami BD a SA. Riešenie: D. s.: OH možno nájsť z trojuholníka AOS plošnou metódou. O А В С D S H OH - spoločná kolmica na priamky BD a AS Späť
V pravidelnom štvoruholníkovom pyramíde SABCD, ktorého všetky hrany sa rovnajú 1, nájdite vzdialenosť medzi priamkami BD a SA. Riešenie: (polovica uhlopriečky jednotkového štvorca) O A B C D S H Späť
V pravidelnom trojuholníkovom hranole ABCA 1 C 1 B 1, ktorého všetky hrany sú rovné 1, nájdite vzdialenosť medzi priamkami АA 1 a B 1 C. Riešenie: BC C1C1 B1B1 H А А1А1 D. p .: (Kolmica k priesečníku kolmých rovín) Z trojuholníka ASN Späť
V pravidelnej skrátenej štvoruholníkovej pyramíde ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 so stranami základne rovnajúcimi sa 4 a 8 a výškou rovnajúcou sa 6 nájdite vzdialenosť medzi uhlopriečkou a uhlopriečkou BD 1 väčšej základne AC. Riešenie: B А С D А1А1 B1B1 C1C1 D1D1 O O1O1 D. p .: H (je jeho priemet na (BB 1 D 1)) Zvážte rovnoramenný lichobežník BB 1 D 1 D Späť
V pravidelnej skrátenej štvoruholníkovej pyramíde ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 so stranami základne rovnajúcimi sa 4 a 8 a výškou rovnajúcou sa 6 nájdite vzdialenosť medzi uhlopriečkou a uhlopriečkou BD 1 väčšej základne AC. Riešenie: BD B1B1 D1D1 O Späť K H V trojuholníku BD 1 K Trojuholníky BD 1 K a BOH sú podobné v dvoch uhloch V trojuholníku BHO
V jednotkovej kocke ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 nájdite vzdialenosť medzi uhlopriečkou kocky BD 1 a uhlopriečkou tváre AB 1. Riešenie: Uvažujte o pyramíde D 1 AB 1 B. Základom je AB 1 B, potom je výška BC. (uhlopriečka jednotkového štvorca) А С D D1D1 В1В1 С А1А1 В (uhlopriečka jednotkovej kocky) Nájdeme uhol medzi rovnými čiarami AB 1 a В 1 D 1. Môžete použiť metódu vektorových súradníc. späť
V jednotkovej kocke ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 nájdite vzdialenosť medzi uhlopriečkou kocky BD 1 a uhlopriečkou tváre AB 1. Riešenie: Predstavte pravouhlý súradnicový systém А С D D1D1 В1В1 С А1А1 В XZY Potom: späť
V jednotkovej kocke ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 nájdite vzdialenosť medzi uhlopriečkou kocky BD 1 a uhlopriečkou tváre AB 1. Riešenie: А С D D1D1 В1В1 С А1А1 В Späť
V jednotkovej kocke ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 nájdite vzdialenosť medzi uhlopriečkou kocky AB 1 a uhlopriečkou tváre A 1 C 1. Riešenie: А С D D1D1 В1В1 С А1А1 В Zaveďte obdĺžnikový súradnicový systém Potom : Nechaj М К Potom: XZY Späť a
V jednotkovej kocke ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 nájdite vzdialenosť medzi uhlopriečkou kocky AB 1 a uhlopriečkou tváre A 1 C 1. Riešenie: А С D D1D1 В1В1 С А1А1 В X Z Y М К Späť
V jednotkovej kocke ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 nájdite vzdialenosť medzi uhlopriečkou kocky AB 1 a uhlopriečkou tváre A 1 C 1. Riešenie: Späť
2) V pravidelnej štvoruholníkovej pyramíde MABCD, ktorej všetky hrany sú rovné 1, nájdite vzdialenosť medzi čiarami MA a BC Tréningové cvičenia Riešenie 3) Základná strana ABC pravidelnej trojuholníkovej pyramídy ABCD je rovnaká, výška pyramídy DO = 6. Body A 1, C 1 sú stredy hrán AD a CD. Nájdite vzdialenosť medzi čiarami BA 1 a AC 1. Riešenie 1) Nájdite vzdialenosť medzi nesúvislými uhlopriečkami dvoch susedných plôch kocky, ktorej dĺžka hrany je 1.
Riešenie: Späť Úlohy 1) Nájdite vzdialenosť medzi nesúvislými uhlopriečkami dvoch susedných plôch kocky, ktorých dĺžka hrany je 1..: Nájdeme O 1 H, ktorú nájdeme z trojuholníka B 1 OO 1
Riešenie: А D В С М О Н 2) V pravidelnej štvoruholníkovej pyramíde MABCD, ktorej všetky hrany sa rovnajú 1, nájdite vzdialenosť medzi čiarami MA a BC. (trojuholník AMD - rovnostranný) Zistite uhol medzi priamkami AD a BC. Úlohy lietadla || AD => ">"> "title =" (! LANG: Riešenie: А D В С М О Н 2) V pravidelnej štvoruholníkovej pyramíde MABCD, ktorej všetky hrany sú rovné 1, nájdite vzdialenosť medzi čiarami MA a BC. (trojuholník AMD - rovnostranný) Zistite uhol medzi priamkami AD a BC. Úlohy lietadla || AD =>"> title="Riešenie: А D В С М О Н 2) V pravidelnej štvoruholníkovej pyramíde MABCD, ktorej všetky hrany sa rovnajú 1, nájdite vzdialenosť medzi čiarami MA a BC. (trojuholník AMD - rovnostranný) Zistite uhol medzi priamkami AD a BC. Úlohy lietadla || AD =>"> !}
А В С D Riešenie: А1А1 С1С1 3) Strana základne ABC pravidelnej trojuholníkovej pyramídy ABCD je rovnaká, výška pyramídy DO = 6. Body A 1, C 1 sú stredy hrán AD a CD. Zistite vzdialenosť medzi priamkami BA 1 a AC 1. Segmenty AC 1 a BA 1 - okraje trojuholníkovej pyramídy C 1 ABA 1 (referenčný problém). 5) Objem pyramídy so základňou BA 1 A? 4) Vzdialenosť od bodu C 1 k rovine (BDA) (výška pyramídy)? 6) ρ (VA 1; AC 1)? 1) Dĺžka rebier BA 1 a AC 1? 2) Sínus uhla medzi priamkami BA 1 a AC 1? 3) Plocha základne pyramídy - VA 1 A? O Úlohy
A 3) Základná strana ABC pravidelnej trojuholníkovej pyramídy ABCD je rovnaká, výška pyramídy DO = 6. Body A 1, C 1 sú stredy hrán AD a CD. Nájdite vzdialenosť medzi priamkami BA 1 a AC 1. Riešenie: O А D А1А1 XZY х CxC 1) Predstavte pravouhlý súradnicový systém Potom: хDхD Nájdite súradnice bodov C a DBXYOCH (vlastnosť mediánov trojuholníka) хDхD х CxC С B С1С1 Problémy
Základná strana ABC pravidelnej trojuholníkovej pyramídy ABCD je rovnaká, výška pyramídy DO = 6. Body A 1, C 1 sú stredy hrán AD a CD. Zistite vzdialenosť medzi priamkami BA 1 a AC 1. Riešenie: А В С D А1А1 С1С1 X Z Y (stredy СD a АD) Určte súradnice smerových vektorov úlohy.
Základná strana ABC pravidelnej trojuholníkovej pyramídy ABCD je rovnaká, výška pyramídy DO = 6. Body A 1, C 1 sú stredy hrán AD a CD. Zistite vzdialenosť medzi priamkami BA 1 a AC 1. Riešenie: 4) Zistite vzdialenosť od bodu C 1 k rovine (BDA) (výška pyramídy). Odvodíme rovnicu problémov s rovinou (EFP)
А В С D Riešenie: А1А1 С1С1 3) Strana základne ABC pravidelnej trojuholníkovej pyramídy ABCD je rovnaká, výška pyramídy DO = 6. Body A 1, C 1 sú stredy hrán AD a CD. Nájdite vzdialenosť medzi čiarami BA 1 a AC 1. 5) Nájdite objem pyramídy so základňou BA 1 A? O Úlohy
Pri vytváraní prezentácie bol použitý nasledujúci návod:
VZDIALENOSŤ MEDZI ČÁRAMI V PRIESTORE Vzdialenosť medzi dvoma križujúcimi sa čiarami v priestore je dĺžka spoločnej kolmice nakreslenej na tieto čiary. Ak jedna z dvoch križujúcich sa čiar leží v rovine a druhá je rovnobežná s touto rovinou, potom je vzdialenosť medzi týmito čiarami rovnaká ako vzdialenosť medzi priamkou a rovinou. Ak dve krížiace čiary ležia v rovnobežných rovinách, potom je vzdialenosť medzi týmito čiarami rovnaká ako vzdialenosť medzi rovnobežnými rovinami.
Kocka 1 V jednotkovej kocke A… D 1 nájdite vzdialenosť medzi čiarami AA 1 a BC. Odpoveď: 1.
Kocka 2 V jednotkovej kocke A… D 1 nájdite vzdialenosť medzi čiarami AA 1 a CD. Odpoveď: 1.
Kocka 3 V jednotkovej kocke A… D 1 nájdite vzdialenosť medzi čiarami AA 1 a B 1 C 1. Odpoveď: 1.
Kocka 4 V jednotkovej kocke A… D 1 nájdite vzdialenosť medzi čiarami AA 1 a C 1 D 1. Odpoveď: 1.
Kocka 5 V jednotkovej kocke A… D 1 nájdite vzdialenosť medzi čiarami AA 1 a BC 1. Odpoveď: 1.
Kocka 6 V jednotkovej kocke A… D 1 nájdite vzdialenosť medzi čiarami AA 1 a B 1 C. Odpoveď: 1.
Kocka 7 V jednotkovej kocke A… D 1 nájdite vzdialenosť medzi čiarami AA 1 a CD 1. Odpoveď: 1.
Kocka 8 V jednotkovej kocke A… D 1 nájdite vzdialenosť medzi čiarami AA 1 a DC 1. Odpoveď: 1.
Kocka 9 V jednotkovej kocke A… D 1 nájdite vzdialenosť medzi čiarami AA 1 a CC 1. Odpovedzte:
Kocka 10 V jednotkovej kocke A… D 1 nájdite vzdialenosť medzi čiarami AA 1 a BD. Riešenie. Nech O je stred BD. Požadovaná vzdialenosť je dĺžka úsečky AO. To sa rovná odpoveď:
Kocka 11 V jednotkovej kocke A ... D 1 nájdite vzdialenosť medzi čiarami AA 1 a B 1 D 1. Odpoveď:
Kocka 12 V jednotkovej kocke A… D 1 nájdite vzdialenosť medzi čiarami AA 1 a BD 1. Riešenie. Nech P, Q sú stredy AA 1, BD 1. Požadovaná vzdialenosť je dĺžka segmentu PQ. To sa rovná odpoveď:
Kocka 13 V jednotkovej kocke A ... D 1 nájdite vzdialenosť medzi čiarami AA 1 a BD 1. Odpoveď:
Kocka 14 V jednotkovej kocke A… D 1 nájdite vzdialenosť rovnými čiarami AB 1 a CD 1. Odpoveď: 1.
Kocka 15 V jednotkovej kocke A… D 1 nájdite vzdialenosť medzi čiarami AB 1 a BC 1. Riešenie. Požadovaná vzdialenosť sa rovná vzdialenosti medzi rovnobežnými rovinami AB 1 D 1 a BDC 1. Uhlopriečka A 1 C je na tieto roviny kolmá a v priesečníkoch je rozdelená na tri rovnaké časti. Požadovaná vzdialenosť sa preto rovná dĺžke segmentu EF a rovná sa odpovedi:
Kocka 16 V jednotkovej kocke A… D 1 nájdite vzdialenosť medzi čiarami AB 1 a A 1 C 1. Riešenie je podobné predchádzajúcemu. Odpoveď:
Kocka 17 V jednotkovej kocke A… D 1 nájdite vzdialenosť medzi čiarami AB 1 a BD. Riešenie je podobné predchádzajúcemu. Odpoveď:
Kocka 18 V jednotkovej kocke A… D 1 nájdite vzdialenosť rovnými čiarami AB 1 a BD 1. Riešenie. Uhlopriečka BD 1 je kolmá na rovinu rovnostranného trojuholníka ACB 1 a pretína ju v strede P vpísanej kružnice. Požadovaná vzdialenosť sa rovná polomeru OP tejto kružnice. OP = odpoveď:
Pyramída 1 V jednotkovom štvorstene ABCD nájdite vzdialenosť medzi čiarami AD a BC. Riešenie. Požadovaná vzdialenosť sa rovná dĺžke segmentu EF, kde E, F sú stredové body hrán AD, GF. V trojuholníku DAG DA = 1, AG = DG = odpoveď: Preto EF =
Pyramída 2 V pravidelnej pyramíde SABCD so všetkými hranami rovnými 1 nájdite vzdialenosť medzi čiarami AB a CD. Odpoveď: 1.
Pyramída 3 V pravidelnej pyramíde SABCD so všetkými hranami rovnými 1 nájdite vzdialenosť medzi čiarami SA a BD. Riešenie. Požadovaná vzdialenosť sa rovná výške OH trojuholníka SAO, kde O je stred BD. V pravouhlom trojuholníku SAO máme: SA = 1, AO = SO = odpoveď: Preto OH =
Pyramída 4 V pravidelnej pyramíde SABCD so všetkými hranami rovnými 1 nájdite vzdialenosť medzi čiarami SA a BC. Riešenie. Rovina SAD je rovnobežná s čiarou BC. Požadovaná vzdialenosť sa preto rovná vzdialenosti medzi priamkou BC a rovinou SAD. Rovná sa výške EH trojuholníka SEF, kde E, F sú stredy hrán BC, AD. V trojuholníku SEF máme: EF = 1, SE = SF = výška SO sa rovná Preto EH = odpoveď:
Pyramída 5 V pravidelnej 6. pyramíde SABCDEF, ktorej základné hrany sú 1, nájdite vzdialenosť medzi čiarami AB a DE. Odpoveď:
Pyramída 6 V pravidelnej 6. pyramíde SABCDEF, ktorej bočné okraje sú 2 a základné hrany sú 1, nájdite vzdialenosť medzi čiarami SA a BC. Riešenie: Predĺžte hrany BC a AF do priesečníka v bode G. Spoločnou kolmicou na SA a BC je výška AH trojuholníka ABG. To sa rovná odpoveď:
Pyramída 7 V pravidelnej 6. pyramíde SABCDEF, ktorej bočné okraje sú 2 a základné hrany sú 1, nájdite vzdialenosť medzi čiarami SA a BF. Riešenie: Požadovaná vzdialenosť je výška GH trojuholníka SAG, kde G je priesečník BF a AD. V trojuholníku SAG máme: SA = 2, AG = 0, 5, výška SO sa rovná Odtiaľ nájdeme GH = Odpoveď:
Pyramída 8 V pravidelnej 6. pyramíde SABCDEF, ktorej bočné okraje sú 2 a základné hrany sú 1, nájdite vzdialenosť medzi čiarami SA a CE. Riešenie: Požadovaná vzdialenosť je výška GH trojuholníka SAG, kde G je priesečník CE a AD. V trojuholníku SAG máme: SA = 2, AG =, výška SO sa rovná Odtiaľ nájdeme GH = Odpoveď:
Pyramída 9 V pravidelnej 6. pyramíde SABCDEF, ktorej bočné okraje sú 2 a základné hrany sú 1, nájdite vzdialenosť medzi čiarami SA a BD. Riešenie: Priamka BD je rovnobežná s rovinou SAE. Požadovaná vzdialenosť sa rovná vzdialenosti medzi priamkou BD a touto rovinou a rovná sa výške PH trojuholníka SPQ. V tomto trojuholníku je výška SO, PQ = 1, SP = SQ = Preto nájdeme PH = odpoveď:
Pyramída 10 V pravidelnej 6. pyramíde SABCDEF, ktorej bočné okraje sú 2 a základné hrany sú 1, nájdite vzdialenosť medzi čiarami SA a BG, kde G je stred hrany SC. Riešenie: Nakreslite priamku cez bod G rovnobežne so SA. Nech Q označuje bod priesečníka s priamkou AC. Požadovaná vzdialenosť sa rovná výške QH pravouhlého trojuholníka ASQ, v ktorom AS = 2, AQ =, SQ = Preto nájdeme QH = odpoveď :.
Hranol 1 V pravidelnom trojuholníkovom hranole ABCA 1 B 1 C 1, ktorého všetky hrany sa rovnajú 1, nájdite vzdialenosť medzi priamkami: BC a B 1 C 1. Odpoveď: 1.
Hranol 2 V pravidelnom trojuholníkovom hranole ABCA 1 B 1 C 1, ktorého všetky hrany sa rovnajú 1, nájdite vzdialenosť medzi priamkami: AA 1 a BC. Odpoveď:
Hranol 3 V pravidelnom trojuholníkovom hranole ABCA 1 B 1 C 1, ktorého všetky hrany sa rovnajú 1, nájdite vzdialenosť medzi priamkami: AA 1 a BC 1. Odpoveď:
Hranol 4 V pravidelnom trojuholníkovom hranole ABCA 1 B 1 C 1, ktorého všetky hrany sa rovnajú 1, nájdite vzdialenosť medzi priamkami: AB a A 1 C 1. Odpoveď: 1.
Hranol 5 V pravidelnom trojuholníkovom hranole ABCA 1 B 1 C 1, ktorého všetky hrany sú rovné 1, nájdite vzdialenosť medzi priamkami: AB a A 1 C. Riešenie: Požadovaná vzdialenosť sa rovná vzdialenosti medzi rovinou priamka AB a rovina A 1 B 1 C. Označme D a D 1 stredy hrán AB a A 1 B 1. Do pravouhlého trojuholníka CDD 1 z vrcholu D nakreslíme výšku DE. Bude to požadovaná vzdialenosť. Máme, DD 1 = 1, CD = odpoveď: DE =, CD 1 =.
Hranol 6 V pravidelnom trojuholníkovom hranole ABCA 1 B 1 C 1, ktorého všetky hrany sa rovnajú 1, nájdite vzdialenosť medzi priamkami: AB 1 a BC 1. Riešenie: Hranol pripočítajte k 4-uhlovému hranolu. Požadovaná vzdialenosť sa bude rovnať vzdialenosti medzi rovnobežnými rovinami AB 1 D 1 a BDC 1. Rovná sa výške OH pravouhlého trojuholníka AOO 1, v ktorom je odpoveď. Táto výška je
Hranol 7 V správnom 6. hranole A… F 1, ktorého hrany sa rovnajú 1, nájdite vzdialenosť medzi čiarami: AB a A 1 B 1. Odpoveď: 1.
Hranol 8 V správnom 6. hranole A… F 1, ktorého hrany sú 1, nájdite vzdialenosť medzi čiarami: AB a B 1 C 1. Odpoveď: 1.
Hranol 9 V správnom 6. hranole A ... F 1, ktorého hrany sa rovnajú 1, nájdite vzdialenosť medzi priamkami: AB a C 1 D 1. Odpoveď: 1.
Hranol 10 V správnom 6. hranole A… F 1, ktorého hrany sa rovnajú 1, nájdite vzdialenosť medzi čiarami: AB a DE. Odpoveď:.
Hranol 11 V správnom 6. hranole A… F 1, ktorého hrany sa rovnajú 1, nájdite vzdialenosť medzi čiarami: AB a D 1 E 1. Odpoveď: 2.
12 hranol V správnom 6. hranole A… F 1, ktorého hrany sú rovné 1, nájdite vzdialenosť medzi priamkami: AA 1 a CC 1. Odpoveď :.
Hranol 13 V správnom 6. hranole A ... F 1, ktorého hrany sa rovnajú 1, nájdite vzdialenosť medzi priamkami: AA 1 a DD 1. Odpoveď: 2.
Hranol 14 V správnom 6. hranole A ... F 1, ktorého hrany sú 1, nájdite vzdialenosť medzi priamkami: AA 1 a B 1 C 1. Riešenie: Predĺžte strany B 1 C 1 a A 1 F 1 kým sa nepretnú v bode G. Trojuholník A 1 B 1 G je rovnostranný. Jeho výška A 1 H je požadovaná spoločná kolmica. Jeho dĺžka je rovnaká. Odpoveď:.
Hranol 15 V správnom 6. hranole A ... F 1, ktorého hrany sú rovné 1, nájdite vzdialenosť medzi priamkami: AA 1 a C 1 D 1. Riešenie: Požadovaná spoločná kolmica je segment A 1 C 1. Jeho dĺžka je. Odpoveď:.
Hranol 16 V správnom 6. hranole A ... F 1, ktorého hrany sa rovnajú 1, nájdite vzdialenosť medzi priamkami: AA 1 a BC 1. Riešenie: Požadovaná vzdialenosť je vzdialenosť medzi rovnobežnými rovinami PRIDAŤ 1 a BCC 1. Rovná sa. Odpoveď:.
Hranol 17 V správnom 6. hranole A… F 1, ktorého hrany sú rovné 1, nájdite vzdialenosť medzi priamkami: AA 1 a CD 1. Riešenie: Požadovaná spoločná kolmica je segment AC. Jeho dĺžka je rovnaká. Odpoveď:.
Hranol 18 V správnom 6. hranole A ... F 1, ktorého hrany sú rovné 1, nájdite vzdialenosť medzi priamkami: AA 1 a DE 1. Riešenie: Požadovaná spoločná kolmica je úsek A 1 E 1 Jeho dĺžka je. Odpoveď:.
Hranol 19 V správnom 6. hranole A… F 1, ktorého hrany sú rovné 1, nájdite vzdialenosť medzi priamkami: AA 1 a BD 1. Riešenie: Požadovaná spoločná kolmica je segment AB. Jeho dĺžka je 1. Odpoveď: 1.
Hranol 20 V správnom 6. hranole A ... F 1, ktorého hrany sa rovnajú 1, nájdite vzdialenosť medzi priamkami: AA 1 a CE 1. Riešenie: Potrebná vzdialenosť je vzdialenosť medzi priamkou AA 1 a rovina CEE 1. Je rovnaká. Odpoveď:.
Hranol 21 V správnom 6. hranole A ... F 1, ktorého hrany sú rovné 1, nájdite vzdialenosť medzi priamkami: AA 1 a BE 1. Riešenie: Potrebná vzdialenosť je vzdialenosť medzi priamkou AA 1 a rovina VČELA 1. Rovná sa. Odpoveď:.
Hranol 22 V správnom 6. hranole A ... F 1, ktorého hrany sa rovnajú 1, nájdite vzdialenosť medzi priamkami: AA 1 a CF 1. Riešenie: Požadovaná vzdialenosť je vzdialenosť medzi priamkou AA 1 a rovina CFF 1. Rovná sa. Odpoveď:.
Hranol 23 V správnom 6. hranole A ... F 1, ktorého hrany sú rovné 1, nájdite uhol medzi priamkami: AB 1 a DE 1. Riešenie: Požadovaná vzdialenosť je vzdialenosť medzi rovnobežnými rovinami ABB 1 a DEE 1. Vzdialenosť medzi nimi je rovnaká. Odpoveď:.
Hranol 24 V správnom 6. hranole A ... F 1, ktorého hrany sa rovnajú 1, nájdite uhol medzi priamkami: AB 1 a CF 1. Riešenie: Potrebná vzdialenosť je vzdialenosť medzi priamkou AB 1 a rovina CFF 1. Rovná sa. Odpoveď:
Hranol 25 V správnom 6. hranole A… F 1, ktorého hrany sa rovnajú 1, nájdite vzdialenosť medzi priamkami: AB 1 a BC 1. Riešenie: Nech O, O 1 sú stredy hranolových plôch. Roviny AB 1 O 1 a BC 1 O sú rovnobežné. Rovina ACC 1 A 1 je kolmá na tieto roviny. Požadovaná vzdialenosť d sa rovná vzdialenosti medzi priamkami AG 1 a GC 1. V rovnobežníku AGC 1 G 1 máme AG = odpoveď :; AG 1 = výška nakreslená do strany AA 1 je 1. Preto d =. ...
Hranol 26 V správnom 6. hranole A ... F 1, ktorého hrany sú rovné 1, nájdite vzdialenosť medzi priamkami: AB 1 a BD 1. Riešenie: Zoberme si rovinu A 1 B 1 HG kolmú na BD 1. Ortogonálny priemet do tejto roviny vedie priamku BD 1 do bodu H a priamku AB 1 do priamky GB 1. Požadovaná vzdialenosť d sa preto rovná vzdialenosti od bodu H do priamky GB 1. Vpravo- uhlový trojuholník GHB 1 máme GH = 1; Odpoveď: B 1 H =. Preto d =.
Hranol 27 V správnom 6. hranole A ... F 1, ktorého hrany sú rovné 1, nájdite vzdialenosť medzi priamkami: AB 1 a BE 1. Riešenie: Zoberme si rovinu A 1 BDE 1, kolmú na AB 1. Ortogonálny priemet na túto rovinu prenáša priamku AB 1 do bodu G a priamka BE 1 zostáva na svojom mieste. Preto je požadovaná vzdialenosť d rovná vzdialenosti GH od bodu G k priamke BE 1. V pravouhlom trojuholníku A 1 BE 1 máme A 1 B =; A 1 E 1 =. Odpoveď: Preto d =.
„Vzdialenosť medzi krížiacimi sa čiarami“ - Veta. Prípravné ústne úlohy. Nájdite vzdialenosť medzi priamkou MN a rovinou AA1D1D. Nájdite vzdialenosť medzi priamkou B1K a rovinou DD1C1C. OK = OO1? OM / O1M = a / 3 (podľa Pytagorovej vety O1M = 3/2? 2, OM = 1/2? 2). Diagonálna rovina AA1C1C je kolmá na priamku BD. Nové polohy bodov B a N budú body priamok AD a BM najbližšie k sebe.
„Lekcia Rýchlosť časová vzdialenosť“ - Matematická rozcvička. Účel hodiny: naučiť študentov riešiť pohybové problémy. Vzdialenosť. Ako dlho trvá prejsť 30 km konštantnou rýchlosťou 5 km / h? Vzťah medzi rýchlosťou, časom a vzdialenosťou. Koľko ľudí išlo do mesta? Lietadlo preletí vzdialenosť z mesta A do mesta B za 1 hodinu 20 minút.
„Matematik rýchlosti a vzdialenosti“ - Znížte súčet čísiel 5 a 65 dvakrát. Neviem, ako ísť na mesiac. Cestujte po stránkach rozprávkovej knihy. Telesná výchova. Jeden vyšiel o 8. hodine a druhý o 10. hodine. Zhrnutie. Má Laura pravdu? -Laura vyriešila tento problém: „500 km. auto prejde o 10 hodín. Čas. Kľúč s odpoveďou „38“ otvára knihu:
„Dialógová priama reč“ - Aký je rozdiel medzi priamou rečou a dialógom? Napríklad: L. N. Tolstoj povedal: „Všetci sa navzájom na svete potrebujeme.“ Grafika priamej reči. A: "p." Úloha 3. Nahraďte priamu reč dialógom. Napríklad: "P?" - a. „NS!“ - a. Uveďte správne diagramy pre nasledujúce vety. Dialógová grafika. Ako písať priamu reč a dialóg písomne?
„Vety s priamou rečou“ - Petronius, starorímsky spisovateľ. Hra „Nájdi chybu“ (zaškrtnite). Slová autora, predstavujúce priamu reč: Otočil som sa a šiel do domu otca Gerasima. Prišiel ma navštíviť kamarát z dediny. Priame rečové vety. Kreatívna úloha. Pri písaní je priama reč uzavretá v úvodzovkách. Čítať! " - zvolal Konstantin Georgievič Paustovský.
„Vzdialenosť a mierka“ - model atómu v mierke vysokého zväčšenia. Na mape s mierkou je vzdialenosť 5 cm. Ak je mierka daná zlomkom s čitateľom 1, potom. Malý model hasičského auta. Algoritmus na zistenie vzdialenosti na zemi: Po diaľnici je dĺžka trasy 700 km. Dokončite frázu: Vzdialenosť medzi dvoma mestami je 400 km.
V tomto článku je na príklade riešenia problému C2 zo skúšky analyzovaný spôsob hľadania pomocou metódy súradníc. Pripomeňme, že rovné čiary sa pretínajú, ak neležia v rovnakej rovine. Najmä ak jedna priamka leží v rovine a druhá priamka pretína túto rovinu v bode, ktorý neleží na prvej priamke, potom sa také čiary pretínajú (pozri obrázok).
Nájsť vzdialenosť medzi križujúcimi sa čiarami nevyhnutné:
- Nakreslite rovinu cez jednu z pretínajúcich sa priamych čiar, ktorá je rovnobežná s druhou pretínajúcou sa priamkou.
- Spustite kolmicu z ľubovoľného bodu druhej priamky do výslednej roviny. Dĺžka tejto kolmice bude požadovanou vzdialenosťou medzi rovnými čiarami.
Poďme analyzovať tento algoritmus podrobnejšie na príklade riešenia úlohy C2 zo skúšky z matematiky.
Vzdialenosť medzi čiarami v priestore
Úloha. V jednotkovej kocke ABCDA 1 B 1 C. 1 D 1 nájdite vzdialenosť medzi čiarami BA 1 a DB 1 .
Ryža. 1. Kresba k úlohe
Riešenie. Prostredníctvom stredu uhlopriečky kocky DB 1 (bod O) nakreslite priamku rovnobežnú s priamkou A 1 B... Body priesečníka tejto čiary s hranami Pred Kr a A 1 D 1 označujú, resp N. a M... Rovno MN leží v lietadle MNB 1 a rovnobežne s priamkou A 1 B ktorý neleží v tejto rovine. To znamená, že rovno A 1 B rovnobežne s rovinou MNB 1 na základe rovnobežnosti priamky a roviny (obr. 2).
Ryža. 2. Požadovaná vzdialenosť medzi križujúcimi sa čiarami sa rovná vzdialenosti od ľubovoľného bodu vybranej priamky k zobrazenej rovine
Teraz hľadáme vzdialenosť od nejakého bodu na priamke A 1 B do lietadla MNB 1. Táto vzdialenosť bude podľa definície požadovanou vzdialenosťou medzi prekríženými čiarami.
Na nájdenie tejto vzdialenosti použijeme súradnicovú metódu. Predstavme pravouhlý karteziánsky súradnicový systém tak, aby sa jeho pôvod zhodoval s bodom B, osou X bol nasmerovaný pozdĺž rebra BA, os Y- pozdĺž okraja Pred Kr, os Z- pozdĺž okraja BB 1 (obr. 3).
Ryža. 3. Vyberieme pravouhlý karteziánsky súradnicový systém, ako je znázornené na obrázku
Nájdite rovnicu roviny MNB 1 v danom súradnicovom systéme. Za týmto účelom najskôr určte súradnice bodov M, N. a B 1: 
Získané súradnice sa dosadia do všeobecnej rovnice priamky a získame nasledujúci systém rovníc:
Z druhej rovnice systému dostaneme z tretej a potom z prvej dostaneme Nahradiť získané hodnoty do všeobecnej rovnice priamky:
Všimnite si, že inak lietadlo MNB 1 by prešiel pôvodom. Rozdelíme obe strany tejto rovnice na a dostaneme:
Vzdialenosť bodu od roviny je určená vzorcom.
