Vietova veta sa často používa na testovanie už nájdených koreňov. Ak nájdete korene, na výpočet hodnôt \ (p \) môžete použiť vzorce \ (\ begin (cases) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ end (cases) \) a \ (q \). A ak sa ukáže, že sú rovnaké ako v pôvodnej rovnici, potom sú korene nájdené správne.
Napríklad vyriešme pomocou rovnice \ (x ^ 2 + x -56 = 0 \) a získajme korene: \ (x_1 = 7 \), \ (x_2 = -8 \). Skontrolujme, či sme v procese rozhodovania neurobili chybu. V našom prípade \ (p = 1 \) a \ (q = -56 \). Podľa Vietovej vety máme:
\ (\ begin (cases) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ end (cases) \) \ (\ Leftrightarrow \) \ (\ begin (cases) 7 + ( - 8) = - 1 \\ 7 \ cdot (-8) = -56 \ end (cases) \) \ (\ Leftrightarrow \) \ (\ begin (cases) -1 = -1 \\ -56 = -56 \ end (cases) \ )
Oba tvrdenia súhlasia, čo znamená, že sme rovnicu správne vyriešili.
Túto kontrolu je možné vykonať ústne. Bude to trvať 5 sekúnd a ušetrí vás to od hlúpych chýb.
Vietina konverzačná veta
Ak \ (\ begin (prípady) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ end (prípady) \), potom \ (x_1 \) a \ (x_2 \) sú korene kvadratickej rovnice \ (x ^ 2 + px + q = 0 \).
Alebo jednoducho: ak máte rovnicu tvaru \ (x ^ 2 + px + q = 0 \), potom riešenie systému \ (\ begin (prípady) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ end (prípady) \) nájdete jeho korene.
Vďaka tejto vete môžete rýchlo nájsť korene kvadratickej rovnice, najmä ak tieto korene sú. Táto zručnosť je dôležitá, pretože šetrí veľa času.
Príklad ... Vyriešte rovnicu \ (x ^ 2-5x + 6 = 0 \).
Riešenie
: Pomocou Vietovej inverznej vety zistíme, že korene spĺňajú podmienky: \ (\ begin (cases) x_1 + x_2 = 5 \\ x_1 \ cdot x_2 = 6 \ end (cases) \).
Pozrite sa na druhú rovnicu systému \ (x_1 \ cdot x_2 = 6 \). V ktorých dvoch je možné rozkladať číslo \ (6 \)? Na \ (2 \) a \ (3 \), \ (6 \) a \ (1 \) alebo \ (- 2 \) a \ (- 3 \), a \ (- 6 \) a \ (- 1 \). Prvá rovnica systému vám povie, ktorý pár si vybrať: \ (x_1 + x_2 = 5 \). \\ (2 \\) a \\ (3 \\) sú podobné, pretože \\ (2 + 3 \ u003d 5 \\).
Odpoveď
: \ (x_1 = 2 \), \ (x_2 = 3 \).
Príklady
... Pomocou inverznej vety k Vietovej vete nájdite korene kvadratickej rovnice:
a) \ (x ^ 2-15x + 14 = 0 \); b) \ (x ^ 2 + 3x-4 = 0 \); c) \ (x ^ 2 + 9x + 20 = 0 \); d) \ (x ^ 2-88x + 780 = 0 \).
Riešenie
:
a) \ (x ^ 2-15x + 14 = 0 \) - na aké faktory sa rozkladá \ (14 \)? \ (2 \) a \ (7 \), \ (- 2 \) a \ (- 7 \), \ (- 1 \) a \ (- 14 \), \ (1 \) a \ (14 \ ). Aké dvojice čísel súčet \ (15 \)? Odpoveď: \ (1 \) a \ (14 \).
b) \ (x ^ 2 + 3x-4 \ u003d 0 \)- na aké faktory sa rozkladá \ (- 4 \)? \ (- 2 \) a \ (2 \), \ (4 \) a \ (- 1 \), \ (1 \) a \ (- 4 \). Aké dvojice čísel predstavujú súčet \ (- 3 \)? Odpoveď: \ (1 \) a \ (- 4 \).
c) \ (x ^ 2 + 9x + 20 = 0 \) - na aké faktory sa rozkladá \ (20 \)? \ (4 \) a \ (5 \), \ (- 4 \) a \ (- 5 \), \ (2 \) a \ (10 \), \ (- 2 \) a \ (- 10 \), \ (- 20 \) a \ (- 1 \), \ (20 \) a \ (1 \). Aké dvojice čísel predstavujú súčet \ (- 9 \)? Odpoveď: \ (- 4 \) a \ (- 5 \).
d) \ (x ^ 2-88x + 780 = 0 \) - na aké faktory sa rozkladá \ (780 \)? \ (390 \) a \ (2 \). Budú spolu \ (88 \)? Nie Aké ďalšie faktory má \ (780 \)? \ (78 \) a \ (10 \). Budú spolu \ (88 \)? Áno. Odpoveď: \ (78 \) a \ (10 \).
Nie je potrebné rozložiť posledný výraz na všetky možné faktory (ako v poslednom príklade). Môžete okamžite skontrolovať, či ich súčet dáva \ (- p \).
Dôležité! Vietova veta a opačná veta fungujú iba s, to znamená, že koeficient pred \ (x ^ 2 \) je rovný jednej. Ak máme spočiatku neredukovanú rovnicu, potom ju môžeme zmenšiť jednoduchým vydelením koeficientom pred \ (x ^ 2 \).
Napríklad, nech je daná rovnica \ (2x ^ 2-4x-6 = 0 \) a chceme použiť jednu z Vietových viet. Ale nemôžeme, pretože koeficient pred \ (x ^ 2 \) je \ (2 \). Zbavme sa toho delením celej rovnice na \ (2 \).
\ (2x ^ 2-4x-6 = 0 \) \ (|: 2 \)
\ (x ^ 2-2x-3 = 0 \)
Pripravený. Teraz môžete použiť obe vety.
Odpovede na často kladené otázky
Otázka:
Podľa Vietovej vety môžete vyriešiť akúkoľvek?
Odpoveď:
Bohužiaľ nie. Ak rovnica nie je celočíselná alebo rovnica nemá žiadne korene, potom Vietova veta nepomôže. V tomto prípade použite diskriminačný
... Našťastie 80% rovníc v stredoškolskej matematike má celé riešenia.
I. Vieta veta pre redukovanú kvadratickú rovnicu.
Súčet koreňov redukovanej kvadratickej rovnice x 2 + px + q = 0 sa rovná druhému koeficientu, branému s opačným znamienkom, a súčin koreňov sa rovná voľnému výrazu:
x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙ x 2 = q.
Nájdite korene redukovanej kvadratickej rovnice pomocou Vietovej vety.
Príklad 1) x 2 -x -30 = 0. Tým sa znížila kvadratická rovnica ( x 2 + px + q = 0), druhý koeficient p = -1 a voľný termín q = -30. Najprv sa uistite, že daná rovnica má korene a že korene (ak existujú) budú vyjadrené v celých číslach. Na to stačí, aby bol diskriminant dokonalým štvorcom celého čísla.
Nájdite diskriminátora D= b 2 - 4ac = ( - 1) 2-4 ∙ 1 ∙ (-30) = 1 + 120 = 121 = 11 2 .
Teraz by podľa Vietovej vety mal byť súčet koreňov rovný druhému koeficientu branému s opačným znamienkom, t.j. ( -p), a produkt sa rovná voľnému termínu, t.j. ( q). Potom:
x 1 + x 2 = 1; x 1 ∙ x 2 = -30. Musíme vybrať dve čísla, aby bol ich súčin rovnaký -30 , a suma je jednotka... Toto sú čísla -5 a 6 . Odpoveď: -5; 6.
Príklad 2) x 2 + 6x + 8 = 0. Máme redukovanú kvadratickú rovnicu s druhým koeficientom p = 6 a voľný člen q = 8... Zaistite, aby existovali celočíselné korene. Nájdite diskriminátora D 1 D 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 ... Diskriminačný D 1 je perfektný štvorec čísla 1 , preto korene tejto rovnice sú celé čísla. Vyberme korene podľa Vietovej vety: súčet koreňov sa rovná –P = -6, a produkt koreňov je q = 8... Toto sú čísla -4 a -2 .
V skutočnosti: -4-2 = -6 = -p; -4 ∙ (-2) = 8 = q. Odpoveď: -4; -2.
Príklad 3) x 2 + 2x-4 = 0... V tejto redukovanej kvadratickej rovnici je druhý koeficient p = 2 a voľný termín q = -4... Nájdite diskriminátora D 1 pretože druhý koeficient je párne číslo. D 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Diskriminant nie je dokonalým štvorcom čísla, preto áno výkon: korene tejto rovnice nie sú celé čísla a nemožno ich nájsť vo Vietovej vete. To znamená, že túto rovnicu vyriešime, ako inak, pomocou vzorcov (v tomto prípade pomocou vzorcov). Dostaneme:
Príklad 4). Vytvorte kvadratickú rovnicu pre jej korene, ak x 1 = -7, x 2 = 4.
Riešenie. Požadovaná rovnica bude napísaná vo forme: x 2 + px + q = 0, a na základe Vietovej vety –P = x 1 + x 2=-7+4=-3 → p = 3; q = x 1 ∙ x 2=-7∙4=-28 ... Potom bude mať rovnica tvar: x 2 + 3x-28 = 0.
Príklad 5). Pre jeho korene vytvorte kvadratickú rovnicu, ak:
II. Vietova veta pre úplnú kvadratickú rovnicu sekera 2 + bx + c = 0.
Súčet koreňov je mínus b deleno a, produkt koreňov je s deleno a:
x 1 + x 2 = -b / a; x 1 ∙ x 2 = c / a.
Príklad 6). Nájdite súčet koreňov kvadratickej rovnice 2x 2 -7x -11 = 0.
Vietova veta
Nech a označíme korene redukovanej kvadratickej rovnice
(1)
.
Potom sa súčet koreňov rovná koeficientu at, branému s opačným znamienkom. Výsledok koreňov sa rovná voľnému termínu:
;
.
Poznámka k viacerým koreňom
Ak je diskriminant rovnice (1) rovný nule, potom má táto rovnica jeden koreň. Aby sa však zabránilo ťažkopádnym formuláciám, všeobecne sa uznáva, že v tomto prípade má rovnica (1) dva viacnásobné alebo rovnaké korene:
.
Dôkaz jeden
Nájdeme korene rovnice (1). Na tento účel použite vzorec pre korene kvadratickej rovnice:
;
;
.
Nájdeme súčet koreňov:
.
Ak chcete nájsť prácu, použite vzorec:
.
Potom
.
Veta je dokázaná.
Dôkaz dva
Ak čísla a sú koreňmi kvadratickej rovnice (1), potom
.
Rozširujeme zátvorky.
.
Rovnica (1) bude mať teda tvar:
.
V porovnaní s (1) nájdeme:
;
.
Veta je dokázaná.
Vietina konverzačná veta
Nech sú ľubovoľné čísla. Potom a sú korene kvadratickej rovnice
,
kde
(2)
;
(3)
.
Dôkaz Vietovej konverzačnej vety
Uvažujme kvadratickú rovnicu
(1)
.
Musíme dokázať, že ak a, potom u sú korene rovnice (1).
Náhradník (2) a (3) v bode 1:
.
Zoskupíme výrazy na ľavej strane rovnice:
;
;
(4)
.
Náhradník v (4):
;
.
Náhradník v (4):
;
.
Rovnica je splnená. To znamená, že číslo je koreňom rovnice (1).
Veta je dokázaná.
Vietova veta pre úplnú kvadratickú rovnicu
Teraz zvážte úplnú kvadratickú rovnicu
(5)
,
kde, a tam sú nejaké čísla. Navyše.
Rozdelíme rovnicu (5) na:
.
To znamená, že sme dostali redukovanú rovnicu
,
kde ; ...
Potom má Vietova veta pre úplnú kvadratickú rovnicu nasledujúcu formu.
Označme a označme korene úplnej kvadratickej rovnice
.
Potom sa súčet a produkt koreňov určia podľa vzorcov:
;
.
Vietova veta pre kubickú rovnicu
Podobným spôsobom môžeme nadviazať spojenie medzi koreňmi kubickej rovnice. Uvažujme kubickú rovnicu
(6)
,
kde ,,, sú nejaké čísla. Navyše.
Rozdeľme túto rovnicu na:
(7)
,
kde , , .
Nech ,, korene rovnice (7) (a rovnice (6)). Potom
.
V porovnaní s rovnicou (7) zistíme:
;
;
.
Vietova veta pre rovnicu n -tého stupňa
Rovnakým spôsobom môžete nájsť súvislosti medzi koreňmi ,, ... ,, pre rovnicu n -tého stupňa
.
Vietova veta pre rovnicu n -tého stupňa má nasledujúcu formu:
;
;
;
.
Aby sme získali tieto vzorce, napíšeme rovnicu v nasledujúcom tvare:
.
Potom porovnáme koeficienty na ,,, ... a porovnáme voľný výraz.
Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a študentov technických inštitúcií, „Lan“, 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov a kol., Algebra: učebnica pre vzdelávacie inštitúcie 8. stupňa, Moskva, vzdelávanie, 2006.
Tri čísla 12x, x 2-5 a 4 v tomto poradí tvoria rastúcu aritmetickú postupnosť https://youtu.be/U0VO_N9udpI Vyberte správne tvrdenie http://pin.it/9w-GqGp Nájdite všetky x, y a z, pre ktoré čísla 5x + 3, y2 a 3z + 5 vytvoria aritmetický priebeh v uvedenom poradí. Nájdite x a označte rozdiel tohto postupu. Vyriešte sústavu rovníc Matematik Jednotná štátna skúška. Video lekcie. Deliteľnosť celých čísel. Lineárna funkcia. Problémy s deliteľnosťou. Vietova veta, opačná veta, Vietine vzorce. múdry #študenti #rovnice #vietas_theorem #veta Ďalej uvažujme vetu, ktorá je v kontraste k Vietovej vete. Potom analyzujeme riešenia najtypickejších príkladov. Toto dokazuje prvý vzťah Vietovej vety pre súčet koreňov kvadratickej rovnice. Prejdeme k druhému. Ako dokázať obrátenú vetu na Vietovu vetu? DOK-VO: x2 + px + f = 0 x2- (M + H) * x + M * H = 0 x2-Mx-Hx + M * H = 0 x (x-H) -M (x-H) = 0 (xM ) (xH) = 0 xM = 0 xH = 0 x = M x = H CHTD. Takto sme to dokázali v špecializovanej triede s matematickou predpojatosťou. Odpovede: Pomôžte mi porozumieť obrátenej vete na Vietovu vetu. Ďakujem za konkrétne príklady. Konverzná veta na Vietovu vetu pomáha vyriešiť: Ak je koeficient a číslo, z ktorého je ľahké extrahovať odmocninu racionálneho čísla, potom súčet. x1 a x2 sa bude rovnať číslu. Dokážte opačnú vetu Vieta - pozrite sa, ako sa sťažovať na dôkaz Vietovej vety. Formulovať a dokázať Vietovu vetu, ako aj opačnú vetu, použiť vety na riešenie rovníc a problémov. Dokážte opak Vietovej vety. Zjednotená štátna skúška z matematiky za 100 bodov: tajomstvá, o ktorých učitelia nehovoria, odvodené problémy. Mnoho uchádzačov si myslí, že na prvých štrnásť problémov sa nemusí pripravovať, pretože veria, že sú veľmi jednoduchí, ale nie je to tak! Väčšina skúšajúcich robí najjednoduchšie aritmetické chyby, čím zatieňuje vynikajúce riešenie problémov časti C. Takéto situácie sú veľmi časté, preto by ste nemali zanedbávať prípravu na prvé problémy, ale pripraviť sa ako pri športovom tréningu: uchádzajú sa o 90-100 bodov-vlak vyrieši prvý blok za 20-25 minút, ak 70-80 bodov-asi 30 minút, nie viac. Výborný spôsob školenia je rozhodnutie v spoločnosti tútora, v kurzoch, kde budú stanovené určité podmienky: napríklad sa rozhodnete pred prvou chybou, po odovzdaní práce; ďalšia možnosť - za každú chybu darujete peniaze bežnej pokladni. Bez ohľadu na to, ako zvláštne sa to môže zdať, oficiálnu stránku neodporúčame, pretože všetky testy sú tak zmiešané, že je nemožné ich použiť. Návrh úloh časti C je dôležitý. Ak je rozhodnutie prijaté nepresne, priebeh riešenia úlohy bude nezrozumiteľný, a preto si to skúšajúci určite vyberie a zníži vaše skóre. Zdá sa, že sme hovorili o veľmi jednoduchých veciach, ale dodržiavaním našich rád si zaistíte úspešnú skúšku! Tajné odkazy, ktoré sú popísané v triede Master, nájdete tu - sú to odkazy na video kurzy na prípravu na zjednotenú štátnu skúšku. Tento výsledok sa nazýva Vietova veta. Pre redukovaný kvadratický trinomiál 2 x px q vyzerá Vietova veta takto: ak existujú korene, potom platí aj opačná veta k Vietovej vete: ak čísla vyhovujú podmienkam, potom sú tieto čísla koreňmi rovnice. Dôkaz tejto vety je jednou z kontrolných otázok Úlohy. Niekedy sa pre stručnosť obe Vietove vety (priame aj inverzné) jednoducho nazývajú Vietova veta.
Podstatou tejto techniky je nájsť korene bez pomoci diskriminátora. Pre rovnicu tvaru x2 + bx + c = 0, kde existujú dva skutočné rôzne korene, platia dve tvrdenia.Prvé tvrdenie hovorí, že súčet koreňov tejto rovnice sa rovná hodnote koeficientu pri premennej x (v tomto prípade je to b), ale s opačným znamienkom. Vyzerá to takto: x1 + x2 = −b.
Druhé tvrdenie už nie je spojené so súčtom, ale s produktom rovnakých dvoch koreňov. Tento produkt sa rovná voľnému koeficientu, t.j. c. Alebo x1 * x2 = c. Oba tieto príklady sú vyriešené v systéme.
Vietova veta výrazne zjednodušuje riešenie, má však jedno obmedzenie. Kvadratickú rovnicu, ktorej korene možno nájsť pomocou tejto techniky, treba zmenšiť. Vo vyššie uvedenej rovnici koeficientu a je koeficient pred x2 rovný jednej. Každú rovnicu je možné redukovať na podobnú formu delením výrazu prvým koeficientom, ale táto operácia nie je vždy racionálna.
Dôkaz vety
Na začiatok by ste si mali pamätať, ako tradične je zvykom hľadať korene kvadratickej rovnice. Nájde sa prvý a druhý koreň, a to: x1 = (-b-√D) / 2, x2 = (-b + √D) / 2. Spravidla je deliteľné 2a, ale ako už bolo uvedené, vetu je možné použiť iba vtedy, ak a = 1.Z Vietovej vety je známe, že súčet koreňov sa rovná druhému koeficientu so znamienkom mínus. To znamená, že x1 + x2 = (-b-√D) / 2 + (-b + √D) / 2 = −2b / 2 = −b.
To isté platí pre súčin neznámych koreňov: x1 * x2 = (-b-√D) / 2 * (-b + √D) / 2 = (b2-D) / 4. Na druhej strane, D = b2-4c (opäť s a = 1). Ukazuje sa, že výsledok je nasledujúci: x1 * x2 = (b2- b2) / 4 + c = c.
Z vyššie uvedeného jednoduchého dôkazu je možné vyvodiť iba jeden záver: Vietova veta je plne potvrdená.
Druhá formulácia a dôkaz
Vietina veta má ešte jednu interpretáciu. Presnejšie povedané, nejde o interpretáciu, ale o znenie. Ide o to, že ak sú splnené rovnaké podmienky ako v prvom prípade: existujú dva rôzne skutočné korene, potom vetu možno napísať v inom vzorci.Táto rovnosť vyzerá takto: x2 + bx + c = (x - x1) (x - x2). Ak sa funkcia P (x) pretína v dvoch bodoch x1 a x2, potom ju možno zapísať ako P (x) = (x - x1) (x - x2) * R (x). V prípade, že P má druhý stupeň a presne takto vyzerá pôvodný výraz, potom R je prvočíslo, a to 1. Toto tvrdenie platí z toho dôvodu, že inak rovnosť nebude platiť. Faktor x2 pri rozširovaní zátvoriek nesmie prekročiť hodnotu jeden a výraz musí zostať štvorcový.
